Artículo Cientíco / Scientic Paper
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Revista Energía Mecánica Innovación y Futuro, X Edición 2021, No. 9 (09)
ENERGÍA MECÁNICA INNOVACIÓN Y FUTURO
No. 10 Vol. 1 / 2021 (9) ISSN 1390 - 7395 (9/9)
Abstract
Radioactivity is the process of spontaneous decay and
transformation of volatile atomic nuclei, followed by
the emission of radiation. George Gamow was able
to use quantum mechanics to explain the radioactive
phenomenon of alpha decay through a process called
tunneling. The α-particles are structurally equivalent
to the nucleus of a helium atom and consist of two
protons and two neutrons. Basically the argument is
that an alpha particle does not need enough energy
to overcome the potential barrier of the nucleus, it
tunnels through it. This article reviews the concepts
and unravels the calculations that Gamow used to
explain his theory of decay.
Keywords: Alpha decay, radioactivity, quantum
tunneling, quantum mechanics.
DECAIMIENTO ALFA: UNA REVISIÓN A LA TEORÍA DE GEORGE GAMOW
ALPHA DECAY: A REVIEW OF GEORGE GAMOW’S THEORY
1
José Guillermo Trujillo Jaramillo,
2
Edison Ramiro Acurio Armas,
3
José Ignacio Trujillo Galarza
1
Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE,
2
Escuela Técnica de la Fuerza Aérea ETFA,
3
Universidad de Investigación de Tecnología Experimental Yachay Tech.
e – mail:
1
jgtrujillo1@espe.edu.ec ,
2
eracurio@espe.edu.ec ,
1
jose.trujillo@yachaytech.edu.ec
TRUJILLO J., ACURIO, TRUJILLO G. /
DECAIMIENTO ALFA: UNA REVISIÓN A LA TEORÍA DE GEORGE GAMOW.
Resumen
La radiactividad es el proceso de desintegración
y transformación espontánea de núcleos atómicos
volátiles, seguido de la emisión de radiación. George
Gamow fue capaz de utilizar la mecánica cuántica
para explicar el fenómeno radiactivo del decaimiento
alfa a través de un proceso llamado tunelización.
Las partículas α son estructuralmente equivalentes
al núcleo de un átomo de Helio y constan de dos
protones y dos neutrones. Básicamente el argumento
es que una partícula alfa no necesita tener suciente
energía para superar la barrera potencial del núcleo,
simplemente tunelea a través de él. En este artículo
se hace una revisión a los conceptos y se desentrañan
los cálculos que utilizó Gamow para poder explicar su
teoría de decaimiento.
Palabras Clave: Decaimiento alfa, radiactividad,
tunelamiento cuántico, mecánica cuántica.
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1. Introducción
1.1. Radiactividad
La radiactividad es el proceso de desintegración
y transformación espontánea de núcleos atómicos
volátiles, seguido de la emisión de radiación [4];
también se le conoce como decaimiento nuclear. La
radiactividad ha evolucionado mucho desde que fue
descubierta por Henri Becquerel en 1896. Becquerel
notó que las sales de uranio producían una radiación
invisible que atravesaba metales y cuerpos opacos a
la luz, así como vidrio y otras sustancias transparentes
[4].
A principios del siglo XX, Marie y Pierre Curie
lideraron el uso de Radio (Ra) para el tratamiento del
cáncer [4]. En 1931, Ernest Lawrence construyó el
primer ciclotrón funcional capaz de acelerar protones,
deuterones o iones de helio (partículas α) a energías
capaces de penetrar núcleos atómicos y producir,
así, numerosos isótopos estables y radiactivos [4].
Ernest Rutherford y Paul Villard, entre 1899 y 1901,
clasicaron la radiación según su poder de penetración
en tres tipos: alfa (α), beta (β) y gamma (γ) [9];
siendo alfa y gamma la menos y más penetrante,
respectivamente. Al principio, se desconocía la
naturaleza de estas radiaciones, pero, después de
todo, serían descritas. En 1900, Becquerel demostró
que las partículas β son de hecho electrones [9]. En
1907, Rutherford y Thomas Royds concluyeron que
las partículas α eran núcleos de helio doblemente
ionizados, y William Henry Bragged demostró que
los rayos gamma eran radiación electromagnética [9].
El estudio de la radiactividad, es decir, la radiación
nuclear y las fuentes de radiactividad, es muy
importante debido a sus abundantes aplicaciones
pacícas en los campos de la medicina, la biología,
la agricultura, la industria y la generación de energía
eléctrica que son indispensables en nuestra vida
cotidiana [4].
1.2. Modelo Atómico de Joseph John
Thomson (Modelo del Pudín de Ciruelas)
En la primera década del siglo XX, se consideraba
que el átomo era un volumen esférico uniforme de
carga positiva (pudín) con electrones incrustados
(pasas) [8]. Esta descripción del átomo es el
modelo atómico propuesto por J.J. Thomson. Dicha
percepción del átomo se mantuvo hasta 1909, antes
del famoso experimento de la lámina de oro realizado
por Johannes “Hans” Geiger y Ernest Marsden bajo
la conducción de Rutherford. El experimento de la
lámina de oro consistió en disparar partículas α, es
decir, núcleos de helio obtenidos a partir de bromuro
de radio, hacia una delgada pieza de lámina de oro [6].
Los resultados observados mostraron una desviación
de las partículas, por esta razón, Rutherford concluyó
que la mayor parte de la masa del átomo y toda su
carga positiva se concentraba en una región pequeña
y compacta llamada núcleo cuyo radio era menor a
10-14 m [6].
1.3. El Misterio del Decaimiento Alfa
¿Qué es el decaimiento o desintegración alfa? Puede
denirse como el proceso de desintegración nuclear
a través del cual el núcleo padre emite una partícula
alfa [4]. Las partículas alfa son estructuralmente
equivalentes al núcleo de un átomo de helio y constan
de dos protones y dos neutrones [4], se emiten como
productos de desintegración de muchos radionúclidos
que poseen un núcleo grande, predominantemente de
número atómico mayor que 81 [4]. La ecuación para
la desintegración alfa es [5]:
(1)
Por ejemplo, el radionúclido americio-241 se
desintegra por emisión de partículas α para producir
el nucleído hijo neptunio-237 de acuerdo con la
siguiente ecuación [4]:
Una vez que se entendió mejor la estructura del
átomo, surgió una nueva pregunta: ¿Cómo se emiten
las partículas α de las sustancias radiactivas? La idea
de Rutherford era separar el potencial en la vecindad
del núcleo en dos partes:
• Dentro del núcleo (distancias <10-14 m), una
parte no Coulombica actúa como fuerza de
unión atractiva.
• Fuera del núcleo, una parte Coulombica actúa
como fuerza electrostática repulsiva
Estos dos potenciales deben coincidir en el borde
del núcleo (r0). Para probar su suposición, Rutherford
realizó experimentos de dispersión con partículas α a
partir de torio radiactivo C (hoy en día conocido como
polonio-212). De esta manera conrmó la existencia
de la parte Coulombica en uranio hasta una altura
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Figura 1. Esquema de Gamow para partículas α con energía E,
incidentes desde la parte derecha, sobre una barrera cuadrada de
altura U0 y ancho l. Potencial U(q) .Tomado de [2].
Es evidente que solo existen “scattering states” en
este sistema. Bajo este contexto, queremos encontrar
la solución de la Ecuación de Schrödinger para una
partícula, con energía 0 < E < , proveniente de la
derecha. La solución será diferente para cada región
del potencial.
• Región I: q < 0, la solución está dada por:
(3)
• Región II: 0 < q < l, la solución es:
(4)
• Región III: l < q, la solución es:
Aplicando condiciones de frontera para
y en q=0 y q=l, obtenemos las siguientes
ecuaciones:
(6)
(7)
(8)
(9)
Considerando a G como dato inicial (amplitud
de la onda incidente), tenemos un sistema de cuatro
ecuaciones con cuatro incógnitas (B, C, D, F).
Resolviendo para B, se obtiene el siguiente
resultado:
de al menos 8,47 MeV [7]. El hecho desconcertante
era que se sabía que el uranio-238 emitía partículas
α de menos de la mitad de la barrera potencial
mencionada, exactamente 4,2 MeV. Bajo el marco
clásico, es imposible que estas partículas escapen del
núcleo. ¿Qué está pasando?, se inventaron muchas
teorías tortuosas para intentar explicar este fenómeno;
por ejemplo, el propio Rutherford postuló la idea
de que quizá una partícula alfa en el interior del
núcleo combinada con dos electrones se convertirá
en un objeto neutro y, por lo tanto, podría escapar a
través del potencial [7]. Sin embargo, es fácil ver las
falencias de tal propuesta.
George Gamow entró en la historia cuando se
encontró con el artículo de Rutherford de 1927
titulado "Estructura del átomo radiactivo y el origen
de los rayos α", en el que se discutía el misterio del
decaimiento alfa. Gamow hizo uso de la mecánica
cuántica para poder explicar que la probabilidad de
que una partícula pase de una región, ambas separadas
por una barrera de potencial nitamente alta, es
diferente de cero [7]. La esencia de la solución de
Gamow era que una partícula alfa no necesitaba tener
suciente energía para superar la barrera Coulombica
del núcleo, simplemente tunela a través de él.
La intervención de Gamow fue la primera vez que
la mecánica cuántica se aplicaba a la física nuclear
utilizando el importante concepto de tunelización
[7]. El tunelamiento ocurre en todos los sistemas
cuánticos, de hecho, es crucial para la nucleosíntesis
en las estrellas, y también puede haber jugado un
papel esencial en la evolución del universo temprano
[7]. Desde su comienzo, relatado aquí, la tunelación
cuántica ha sido un tema de tendencia, con muchas
aplicaciones hasta el día de hoy.
2. Cálculos Matemáticos
2.1. La Barrera Rectangular: Un Enfoque
Simple
Para comprender el comportamiento general del
sistema, es importante partir del caso simple de la
barrera rectangular (Ver gura 1).
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Vamos a denir el coeciente de transmisión de la
siguiente manera:
(11)
donde J
B
es la densidad de corriente transmitida
y J
G
la densidad de corriente incidente. Usando una
fórmula más rápida para el cálculo de la densidad de
corriente, denida en una dimensión como (12):
(12 )
se obtiene para cada región:
(13)
(14)
(15)
Observe que debido a que J
B
y J
G
tienen el mismo
factor de proporcionalidad , que de hecho es la
velocidad de partícula clásica, se podría haber evitado
calcular las corrientes de probabilidad al observar la
simetría del potencial en las regiones 1 y 3 y expresar
el coeciente de transmisión simplemente como la
siguiente relación:
(16
)
Finalmente; se obtiene una expresión exacta para el
coeciente de transmisión, reemplazando (10), k y :
Cuando la barrera de potencial es demasiada alta
y amplia, esta probabilidad de transmisión depende
esencialmente del factor exponencial, es decir:
(
18
)
( )
2.2. Renando el Modelo
Debido a que no se está en el marco de la mecánica
cuántica relativista, la probabilidad debe conservarse
en todas las regiones. Sin embargo; en la desintegración
de partículas, un número constante de partículas y, por
lo tanto, la conservación de la probabilidad falla. El
enunciado de conservación de la probabilidad está
proporcionado por la ecuación mecánica-cuántica de
continuidad:
(
19
)
Donde, P(x,t) es la densidad de probabilidad ( ).
J(x,t) dene la corriente de probabilidad, que es la tasa
a la que la probabilidad está "uyendo" dentro o fuera
de la región en cuestión, y está dada por:
El modelo anterior no era completamente
realista, así que se hacen algunas correcciones. La
siguiente propuesta de Gamow para un modelo de
desintegración alfa fueron dos barreras potenciales
simétricas (Ver gura 2).
Figura 2. Siguiente modelo de Gamow que consta de dos barreras
potenciales rectangulares y simétricas. Tomado de [2].
Considerando soluciones para representar
partículas que salen de la región central, se deduce:
• Región I’: q < -(q0+l), la solución está dada por:
(21)
• Región I: q > q0+l, la solución es:
(22)
donde;
y
es el cambio de fase.
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Sin embargo; las soluciones estacionarias
(independientes del tiempo), para la ecuación de
Schrödinger, no pueden representar un ujo de
partículas que salen de la zona central del potencial
porque P(q,t) es, de hecho, independiente del tiempo,
es decir,
. De esta manera, la
ecuación de continuidad falla para las funciones de
onda elegidas en las regiones I’ y I, es decir, existe la
probabilidad de encontrar partículas fuera de la zona
central entre las dos barreras.
*Energías complejas
Ahora, ¿qué pasaría si se considera a la energía
como un número complejo?, es decir,
. Con y
reales. De hecho, puede
verse que la dependencia temporal de la probabilidad
no será nula:
(
23
)
donde; es el inverso de la “vida útil”,
y
es la “vida media”.
El análisis anterior (*) proporciona una forma
de abordar el problema de las soluciones anteriores
(21) y (22). El siguiente paso es asumir vibraciones
amortiguadas desde la fuente de la onda (parte central)
y también considerar soluciones complejas para las
energías:
donde; es la energía habitual de las partículas
alfa y es la disminución amortiguada (constante de
decaimiento).
De (23) y (24):
(
25
)
(26)
La ecuación de continuidad, entonces, dicta:
(27)
De la cual se obtiene:
(28)
donde; β es una constante de primer orden.
Se ha derivado una expresión para la constante de
desintegración, sin embargo, γ sigue dependiendo en
gran medida del tamaño del pozo de potencial (q0 y l),
así como de la altura de la barrera de potencial .
2.3. La Aproximación WKB
El método WKB (Wentzel, Kramers, Brillouin)
es una técnica que permite obtener soluciones
aproximadas a la ecuación de Schrödinger
independiente del tiempo (TISE, abreviación en
inglés) en una dimensión, cuando V(x) no es constante
pero varía lentamente en comparación con
o
y
es particularmente útil para calcular las tasas de
tunelización a través de barreras potenciales [3].
Figura 3. Dispersión de una barrera rectangular con una cima
irregular. Tomado de [3].
Considerando una barrera potencial entre x=0
y q=a con forma indeterminada (Ver gura 3) y
estableciendo un escenario de tunelización que
corresponde a la región no clásica (E<V), la siguiente
solución es propuesta:
(29)
(
24
)
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Como se dijo, una partícula alfa está compuesta
por dos protones y dos neutrones de ciertos núcleos
radiactivos. Por lo tanto, estas partículas α tienen
una carga positiva 2e siendo repelidas, cuando han
alcanzado una cierta distancia requerida para escapar
de la fuerza de unión nuclear, por el núcleo restante
cuya carga es Ze. La energía potencial repulsiva de
Coulomb entre una partícula alfa emitida y el núcleo
hijo está dada por:
(33)
Entonces, la energía que posee dicha partícula
emitida es:
(34)
donde; es la distancia del punto de inexión, es
decir, la distancia desde el centro del núcleo hasta
donde α se convierte en una partícula libre (Ver Fig.
4b).
NOTA: Aquí es la carga del
protón, ¡no confundir con la función exponencial!
**La Ecuación de Einstein
En cuestión de cálculos, la energía de la partícula α
emitida puede ser deducida a partir de la fórmula de
Einstein ( ) de la siguiente manera:
(35)
donde;
, ,
son las masas del núcleo padre,
núcleo hijo, y la partícula alfa, respectivamente.
Usando la ecuación (32), obtenida de la
aproximación WKB, es posible calcular la constante
de desintegración.
(36)
Usando la siguiente sustitución: , se
resuelve la integral anterior.
donde;
es la aproximación WKB para
en la región de la barrera:
(30)
y p(x), que es imaginario, es el momento clásico de
una partícula de energía E en un potencial V(x).
(31)
Si la probabilidad de tunelización es pequeña,
es decir, la barrera es alta y/o ancha, entonces el
coeciente C de tiende a cero. De este modo;
las amplitudes relativas de las ondas incidentes y
transmitidas son descritas, principalmente, por la
disminución total del término exponencial en la
región no-clásica, expresado en lenguaje matemático
se tiene:
(32
)
¿Puedes notar similitudes entre las ecuaciones (32)
y (18)? En efecto, durante la primera etapa se utilizó
implícitamente la aproximación WKB en el cálculo
del coeciente de transmisión.
2.4. Juntando las Piezas
Pasando al caso de un núcleo real, la ecuación de
onda correspondiente no puede ser resuelta porque el
potencial exacto en sus alrededores es desconocido.
Lo que hizo Gamow fue aproximar la energía
potencial en el núcleo (Ver gura 4a) por un pozo
cuadrado nito de ancho
(que representa la fuerza
de unión nuclear), donde es el radio del núcleo,
unido en cada extremo a una parte Coulombica de
repulsión (Ver gura 4b).
Figura 4. a) Representación del potencial alrededor del núcleo. Tomado
de [2]. b) Modelo de Gamow para la energía potencial de una partícula
alfa en el núcleo radiactivo. Tomado de [3].
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(37)
Habitualmente, el radio del núcleo es mucho menor
que la distancia hacia el punto de inexión, es decir,
. Entonces, se puede utilizar la aproximación
de ángulo pequeño ( ):
(38)
Reemplazando de la ecuación (34):
(39)
Por lo tanto, la probabilidad de tunelización para un
potencial nuclear será:
(40)
donde
(41
)
y
(42
)
*** Tamaño del Radio
Para el cálculo de , se considera que la densidad
dentro del núcleo es constante, por lo tanto, es
proporcional a la masa atómica (A). Por otro lado, el
tamaño típico de un núcleo es un femtómetro o fermi
(fm) que es 10-15m [3]. Así, empíricamente se tiene:
(43)
Una vez que la probabilidad de tunelización
(ecuación 40) y, por lo tanto, la constante de
desintegración γ han sido calculadas, es necesario
encontrar una expresión para la “vida útil” de un
átomo radiactivo mediante un enfoque semiclásico.
Supongamos que una partícula alfa se mueve dentro
del núcleo con una velocidad media , el tiempo medio
entre colisiones será , por lo que la frecuencia de
colisiones es . Sabiendo que la probabilidad de
escape viene dada por
, entonces la probabilidad
de emisión por unidad de tiempo es , y por
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lo tanto, la vida útil del núcleo padre es:
(44)
**** Velocidad de las Partículas Dentro del Núcleo
Desafortunadamente, la velocidad es desconocida,
pero esto no importa mucho. Dado que el factor
exponencial varía en veinticinco órdenes de magnitud
a medida que pasamos de un núcleo radiactivo a
otro, en comparación con esto, la variación en
es insignicante [3]. Sin embargo, ésta se la puede
estimar usando Tal enfoque ignora la
parte negativa de la energía potencial dentro del
núcleo, subestimando así υ, pero esto es lo mejor que
se puede hacer por ahora.
2.5. La Ley de Geiger-Nuttall
La ley de Geiger-Nuttall es una relación empírica,
documentada por primera vez por Hans Geiger y
John Mitchell Nuttall en 1911, entre la constante de
desintegración de los emisores alfa y la energía de las
partículas emitidas. Esta ley tiene la siguiente forma:
(45)
Tabla 1. Valores experimentales de Eα y t1 / 2 para algún núcleo. Datos
cortesía de Leon van Dommelen [1].
Núcleo padre Z
[MeV]
experimental
84 6,89 0,16 segundos
86 5,59 3,83 días
88 4,88 1622 años
90 4,05
1,41
10
10
años
Usando la tabla 1, es posible encontrar las constantes
a y b a través del montaje. De hecho, Geiger-Nuttall
se convierte en:
(46)
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Figura 5. Ley de Geiger-Nuttall.
3. Resultados
3.1. “Vida Útil” Del Uranio 238
tiene la siguiente cadena de decaimiento:
(47)
de la cual se obtiene:
• Para uranio:
, ,
• Para torio:
, ,
Usando la ecuación (43), el radio del núcleo de
uranio será:
(48)
La fórmula de Einstein (35) predice que la energía
de las partículas alfa emitidas es:
Por otro lado; la velocidad a la que la partícula α es
liberada, debido a (****), será:
(50)
(49)
De la ecuación (39), la constante de decaimiento es:
(51
)
Finalmente; usando los resultados anteriores y la
ecuación (44), la “vida útil” del uranio-238 es:
(52
)
(53
)
3.2. “Vida Útil” Del Polonio 212
tiene la siguiente cadena de decaimiento:
(54)
de la cual se obtiene:
• Para polonio:
, ,
• Para plomo:
, ,
Siguiendo la misma metodología que fue usada
para el uranio, se puedo obtener:
(55)
(56)
(57)
(58)
De estos resultados se obtiene la “vida útil” para el
polonio-212:
(59)
La fórmula de Einstein (35) predice que la energía
de las partículas alfa emitidas es:
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(49)
Por otro lado; la velocidad a la que la partícula α es
liberada, debido a (****), será:
(50)
De la ecuación (39), la constante de decaimiento es:
(51
)
Finalmente; usando los resultados anteriores y la
ecuación (44), la “vida útil” del uranio-238 es:
(52
)
Figura 6. Representación del tunelamiento para Uranio-238.
Figura 7. Ley de Geiger-Nuttall para Uranio-238.
4. Conclusiones
Se puede apreciar que la “vida útil” del uranio-232
y polonio-212 diferencian demasiado la una de la
otra. Por lo tanto, existe una sensibilidad extrema a las
masas nucleares: un pequeño cambio en produce
enormes cambios en .
Comparando la “vida media” del uranio 238
(ecuación 53) con el valor obtenido con la ley de
Geiger-Nuttall (Ver gura 7) es posible apreciar
diferencias en estos valores, sin embargo, las
predicciones reproducen con éxito la tremenda gama
de vidas medias y no se desvían mucho de los valores
correctos en comparación con ese rango tremendo.
Por lo tanto, es difícil imaginar otra teoría diferente
al tunelamiento cuántico que podría hacer lo mismo.
5. Referencias
[1] Leon van Dommelen. Quantum Mechanics for
Engineers, Version 5.55 alpha. 2012.
[2] G. Gamow. Quantum Theory of the Atomic
Nucleus. 1928.
[3] David J. Griths. Introduction to Quantum
Mechanics (2nd Edition). 2nd. Pearson Prentice
Hall. isbn: 0131118927.
[4] Michael F L’Annunziata. Radioactivity:
introduction and history, from the quantum to
quarks; 2nd ed. Amsterdam: Elsevier, 2016. url:
https : / / cds . cern . ch / record / 2210635.
[5] W.E. Lee M.I. Ojovan. An Introduction to Nuclear
Waste Immobilisation; 2nd ed. Elsevier, 2014.
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[6] A C Melissinos and Jim Napolitano. Experiments
in modern physics; 2nd ed. New York, NY:
Academic Press, 2003. url: https://cds.cern.ch/
record/897801.
[7] Eugen Merzbacher. “The Early History of
Quantum Tunneling”. In: Physics Today 55.8
(Aug. 2002), pp. 44–49. doi: 10.1063/1.1510281.
url: https://doi.org/10. 1063/1.1510281.
[8] Curt A. Moyer Raymond A. Serway Clement J.
Moses. Modern Physics, Third Edition. David
Harris, 2005.
[9] Thaddeus J. Trenn. “Rutherford on the Alpha-
BetaGamma Classication of Radioactive
Rays”. In: Isis 67.1 (1976), pp. 61–75. issn:
00211753, 15456994. url: http: //www.jstor.org/
stable/231134.
6. Biografía
1
Teniente Coronel Edison
Ramiro Acurio Armas, GR.
Administración Aeronáutica,
Ingeniero Electrónico en
Telecomunicaciones, Maestría
en Educación/Jefe del
Departamento de Ingeniería de
Investigación de la Fuerza Aérea
y Centro de Desarrollo, Director de Carrera de
Tecnología Superior en Ciencias Militares
Aeronáuticas de la Universidad de las Fuerzas
Armadas ESPE, Subdirector de la Escuela Técnica de
la Fuerza Aérea.
2
José Guillermo Trujillo.- Maestría
en Diseño y Fabricación Asistida
por Computadora, Diploma
Superior de Cuarto Nivel en
Pedagogías Innovadoras,
Diplomado Internacional en
Gestión de Competencias,
Ingeniero Mecánico, Docente
tiempo completo/Instructor de la Escuela Técnica de
la Fuerza Aérea y de la Carrera de Tecnología Superior
en Ciencias Militares Aeronáuticas de la Universidad
de las Fuerzas Armadas-ESPE.
3
José Ignacio Trujillo.- Nació en Quito
en 1999. Sus estudios primarios y
secundarios fueron realizados en la
ciudad de Latacunga. Ha obtenido
reconocimientos académicos como
abanderado de la ciudad de Latacunga
en la Unidad Educativa N°5 de la FAE
y Portabanderín del Pabellón Nacional en el Colegio
Hermano Miguel. Sus estudios universitarios los está
realizando en Yachay Tech habiendo culminado el
séptimo semestre de la Carrera de Ingeniería en
Nanotecnología.
Autor para correspondencia:
jgtrujillo1@espe.edu.ec
REGISTRO DE LA PUBLICACIÓN
Fecha recepción 10 mayo 2021
Fecha aceptación 15 julio 2021