Artículo Cientíco / Scientic Paper
Revista Energía Mecánica Innovación y Futuro, IX Edición 2020, No. 1 (10)
- 10 -
ESPE
ENERGÍA MECÁNICA INNOVACIÓN Y FUTURO
No. 9 Vol. 1 / 2020 (10) ISSN 1390 - 7395 (1/10)
Abstract
The present article has the principal objective of
applying the theory of the experimental design for
analysing a typical study case in the industry, the
hypothesis verication in order to make a decision.
The random experimental design, the theory of
statistics and probability, and the variance analysis
or ANOVA are used for this purpose.
First of all, the necessary theory of probability and
statistics is shown for the consequent understanding
of the numerical calculations. Additionally, the
experimental design models are presented in general
and a special emphasis is given to the random
experimental model, which is the base of the present
article.
A typical industrial case of study is presented, and
its analysis is made with an experimental model
for the consequent decision making. Finally, the
understanding of the method presented here can
develop the application of this study in several
environments and cases into the industry.
Keywords: Statistics, Experiments Design, p-value,
ANOVA, Variance.
APLICACIÓN DEL MODELO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE
AL AZAR PARA EL ANÁLISIS Y TOMA DE DECISIONES EN CASOS PRÁCTICOS DE
INGENIERÍA
APPLICATION OF THE COMPLETE RANDOM EXPERIMENTAL DESIGN
MODEL FOR THE ANALYSIS AND DECISION MAKING IN PRACTICAL
ENGINEERING CASES
Eliana Elizabeth Morillo Taco
1
, César Sebastián Silva Proaño
2
1
Universidad de Fuerzas Armadas ESPE, Becaria Universidades de Excelencia por la Secretaria de Educación Superior, Ciencia
Tecnología e Innovación de la República del Ecuador SENESCYT, Universidad de Buenos Aires UBA. Aires
2
Escuela Politécnica Nacional, Ponticia Universidad Católica del Ecuador, Universidad Técnica de Hamburgo, Inspector de Calidad
Airbus – DB Schenker
e-mail :
1
elianamorillo@gmail.com ,
2
sebas.silva.p@gmail.com
MORILLO, SILVA /
APLICACIÓN DEL MODELO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE AL AZAR PARA EL ANÁLISIS Y TOMA DE
DECISIONES EN CASOS PRÁCTICOS DE INGENIERÍA
Resumen
El presente artículo tiene el objetivo principal
de aplicar la teoría del diseño experimental para
analizar un caso de estudio típico en la industria, la
comprobación de hipótesis para la toma de decisiones.
Se utiliza el modelo de diseño de experimentos
completamente al azar, la teoría de probabilidad y
estadística, y el análisis de varianza o ANOVA para
este n.
Se ahonda en primer lugar en la teoría de probabilidad
y estadística necesaria para entendimiento de los
cálculos numéricos. También se exponen los modelos
de diseño experimental que existen y se da énfasis
especial al modelo experimental completamente al
azar, que es la base del desarrollo del presente artículo.
Se presenta un caso de estudio típico en la industria
y se procede a su análisis a través del modelo
experimental y la posterior toma de decisiones.
Finalmente, el entendimiento del método aquí
mostrado puede conllevar a su aplicación en diversos
entornos y casos dentro de la industria.
Palabras Clave: Estadística, Diseño de Experimentos,
valor-p, ANOVA, Varianza.
ESPE
ENERGÍA MECÁNICA INNOVACIÓN Y FUTURO
No. 9 Vol. 1 / 2020 (10) ISSN 1390 - 7395 (1/10)
Artículo Cientíco / Scientic Paper
- 11 -
1. Introducción
El diseño estadístico de experimentos abreviado al
castellano como DEE o DDE se basa en la realización
de pruebas que permitan establecer evidencias
objetivas que aclaren y clariquen aspectos inciertos
de un proceso, resolver problemas dentro de este y
conseguir mejoras. Las evidencias objetivas son el
resultado de un análisis estadístico. [1]
Básicamente el diseño de experimentos consiste
en la aplicación del método cientíco con el n de
proporcionar información o conocimiento respecto a
un proceso o un sistema, a través de pruebas o “tests”
que han sido previamente planicados. Debido a
esto el diseño de experimentos utiliza básicamente
la ingeniería y la estadística con objeto de entender
las situaciones más complejas de la relación causa-
efecto. [1]
Es necesaria en primera instancia la denición
correcta de lo que es un proceso. Un proceso se dene
como la secuencia de pasos a seguir con un carácter
lógico, con el n de obtener un resultado especíco.
En un proceso se tiene una entrada y una salida. En
la entrada tenemos dos tipos de factores: factores
controlables y factores no controlables; mientras
que en la salida se tienen variables de respuesta o
características de calidad, ver Figura 1. [2]
Figura 1. Denición de Proceso
Una variable se dene como la característica
de un objeto de estudio que puede ser sometida
a observación, medición y análisis con el n de
determinar una respuesta a un problema. Las variables
dentro del estudio experimental se clasican en: [3]
• Variables independientes: Son aquellas que tienen
una inuencia directa sobre la característica o
fenómeno que se está tratando.
• Variables dependientes: Son medidas en cada
repetición del experimento con el n de vericar si
las variables independientes tienen una inuencia
directa en su valor.
• Variables extrañas: Son aquellas variables que no
se pueden variar, pero que tienen una inuencia
sobre la variable dependiente. También se las
considera como error experimental o ruido.
• Variables de bloqueo: Estas intervienen en la
respuesta de una variable dependiente y tienen la
capacidad de eliminar su inuencia al momento
que les asigna el valor de una constante.
Es importante también denir la “Unidad
Experimental”. Se dene como la unidad más pequeña
mediante la cual se puede obtener una medida o
característica. Por ejemplo, para un investigador en
general puede ser de interés: las familias, las personas,
las empresas de un cierto tipo, etc. [4]
Los niveles dentro del estudio experimental se
denen como todos los valores que puede tener el
factor a estudiar. Como característica general, los
valores deben en primer lugar poder ser medidos y
en segundo lugar deben ser discretos o continuos. [5]
Un tratamiento es en sí cada una de las pruebas o
ensayos que se realizan en el diseño experimental, y
que contiene a los factores en un determinado nivel.
Cuando un tratamiento puede ser probado más de una
vez, a esto se le denomina réplicas o repeticiones.
También cuando al menos un nivel en un factor es
cambiado, se tiene entonces otro tratamiento diferente
puesto que ya se ha cambiado una condición de los
factores. [2]
La aleatorización se dene como una técnica
usada para conseguir un equilibrio del efecto de las
condiciones externas o no controlables, las cuales
pueden inuir en los resultados de un experimento.
[6]
La prueba ANOVA, término que proviene del
inglés “Analysis of Variance” traducido al español
como análisis de varianza es un test estadístico que
permite determinar si los resultados de una encuesta
o experimento son signicantes o relevantes. En
resumen y básicamente una prueba ANOVA concluye
de manera cuantitativa si se deben rechazar hipótesis
nulas planteadas para un experimento, o caso contrario,
se deben plantear y aceptar hipótesis alternativas. [7]
MORILLO, SILVA /
APLICACIÓN DEL MODELO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE AL AZAR PARA EL ANÁLISIS Y TOMA DE
DECISIONES EN CASOS PRÁCTICOS DE INGENIERÍA
- 12 -
ESPE
ENERGÍA MECÁNICA INNOVACIÓN Y FUTURO
No.9 Vol. 1 / 2020 (10) ISSN 1390 - 7395 (1/10)
Artículo Cientíco / Scientic Paper
qué es lo que se desea obtener por medio del
experimento.
• Cuántos factores de estudio existen.
• Determinar el número de niveles que son
puestos a prueba en cada uno de los factores.
• Qué efectos son de interés para la investigación
(cuál es la relación entre los factores y la
respuesta).
• Finalmente se debe determinar el costo del
experimento, el tiempo disponible para llevarlo
a cabo y la precisión requerida para la ejecución
del mismo.
Dicho todo esto se puede clasicar a los diseños
experimentales de la siguiente manera:
a) Diseño experimental para la comparación de 2
o más tratamientos.
b) Diseño experimental para el estudio del efecto
de varios factores en las respuestas.
c) Diseño experimental para obtener el punto
óptimo en el cual opera un proceso.
d) Diseño experimental para la optimización de
una mezcla.
e) Diseño experimental con el n de que un
proceso o producto sea insensible a factores
que no se pueden controlar.
En base a esto y los estudios realizados detrás de
la teoría del diseño experimental se tienen los diseños
estadísticos de procesos como muestra la Figura 2.
Figura 2. Clasicación teórica de los diseños de experimentos
Dentro del estudio y análisis del diseño experimental
se debe también denir la teoría de las distribuciones
de probabilidad
Revisados de manera general los conceptos
más relevantes en el diseño experimental, es ahora
importante citar los pasos para una correcta planeación
y realización del proceso experimental. La realización,
por etapas de las diferentes actividades del proceso
experimental garantiza el éxito de este estudio. Estas
etapas se denen a continuación:
a) En primer lugar, se debe entender, comprender
y delimitar el objeto de estudio o problema.
Este primer paso conlleva investigaciones
preliminares que ayudan a entender el objeto
de estudio, para de esta manera tener claro qué
es lo que se va a estudiar, por qué es importante
su estudio, y en caso de ser un problema, cuál
es la magnitud del mismo.
b) En segundo lugar, las variables de respuesta
deben ser seleccionadas y además se debe
vericar que su medición es conable. La
correcta selección de estas variables garantiza
el resultado de las pruebas. En otras palabras,
los elementos y/o métodos de medición deben
tener la precisión y exactitud necesaria para
evitar errores.
c) En tercer lugar, se debe determinar los factores
de estudio que se deben investigar tomando en
cuenta la posible inuencia sobre la respuesta
del proceso.
d) Determinados los factores, se deben seleccionar
ahora los niveles de cada uno de estos factores,
y también el diseño experimental más adecuado
con respecto a los factores determinados y el
objetivo del experimento.
e) Planeación y organización del trabajo
experimental.
f) Finalmente se realiza la ejecución del
experimento.
Explicado esto, se debe ahora determinar cuál es
el diseño experimental más adecuado, de acuerdo al
objetivo o proyecto a realizar.
En primera instancia es necesario citar los 5 aspectos
más importantes que inuyen de una manera directa
en el proceso de selección de un diseño experimental:
• Se debe determinar cuál es el objetivo, o
MORILLO, SILVA /
APLICACIÓN DEL MODELO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE AL AZAR PARA EL ANÁLISIS Y TOMA DE
DECISIONES EN CASOS PRÁCTICOS DE INGENIERÍA
ESPE
ENERGÍA MECÁNICA INNOVACIÓN Y FUTURO
No. 9 Vol. 1 / 2020 (10) ISSN 1390 - 7395 (1/10)
Artículo Cientíco / Scientic Paper
- 13 -
En el margen conceptual de la probabilidad y
estadística se dene a la distribución de probabilidad
de una variable de tipo aleatorio como una función que
asigna a cada suceso de la variable, la probabilidad de
que este suceso se lleve a cabo,
Se lo representa ya sea a través de una fórmula o
por una función.
Consecuentemente, la distribución de probabilidad
contradice lo aleatorio como un suceso del cual no
se tiene control alguno, y asigna un valor estadístico
muestral, con el cual se puede armar o negar hipótesis
e incluso realizar estimaciones de tipo poblacional.
Para el análisis de intervalos de conanza y
pruebas de hipótesis existen 4 distribuciones de
probabilidad que son de gran utilidad dentro del
análisis experimental, ver Figura 3, Figura 4, Figura
5 y Figura 6.
• Normal
Figura 3. Distribución Normal
• T de Student
Figura 4. Distribución T de Student
• JI-Cuadrada
Figura 5. Distribución JI-Cuadrada
• F
Figura 6. Distribución F
Para el caso de las distribuciones T de Student,
JI-Cuadrada y F, estas distribuciones se denen
completamente por medio de parámetros denominados
grados de libertad que están relacionados con los
tamaños de muestra concernientes al estudio.
La T de Student se aproxima a una distribución
normal estándar cuando la muestra aumenta de
tamaño. Con un tamaño de muestra mayor a 45 la T
de Student y la distribución normal son las mismas.
Cada una de estas 4 distribuciones tienen un papel
fundamental en el diseño experimental:
• T de Student y distribución normal: Se utilizan
más para inferir sobre el valor de la media
aritmética.
• JI-Cuadrada: Para inferir sobre el valor de la
varianza.
• F: Para realizar comparaciones en los valores
MORILLO, SILVA /
APLICACIÓN DEL MODELO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE AL AZAR PARA EL ANÁLISIS Y TOMA DE
DECISIONES EN CASOS PRÁCTICOS DE INGENIERÍA
- 14 -
ESPE
ENERGÍA MECÁNICA INNOVACIÓN Y FUTURO
No.9 Vol. 1 / 2020 (10) ISSN 1390 - 7395 (1/10)
Artículo Cientíco / Scientic Paper
de la varianza.
En el estudio experimental la distribución F es
la que juega un papel más relevante puesto que el
estudio de la variabilidad de un experimento se realiza
al comparar los valores de varianza.
Dentro de la estadística, al momento de realizar
una estimación de un parámetro, se puede también
determinar el nivel de precisión de esta estimación
por medio de un intervalo de conanza, el cual
básicamente va a determinar de dónde a dónde se
puede encontrar este parámetro.
De esta manera para un parámetro desconocido θ,
la probabilidad porcentual de que este se encuentre en
el intervalo de dos números estadísticos L y U es de
100(1−α)%. En términos de probabilidad se enuncia
de la siguiente manera:
Ec. 1
A continuación, se presenta de manera más
detallado un estudio teórico del concepto de ANOVA
o Análisis de Varianza, en términos generales.
Mediante la inferencia estadística, se pueden
comparar dos tratamientos o condiciones (Figura 7).
Cuando se desea comparar varios tratamientos de
manera sistemática, se debe utilizar el ANOVA. El
ANOVA se utiliza ya sea para el estudio de uno o más
factores por lo que su estudio se divide en ANOVA
para 1 factor y ANOVA factorial. [7]
Figura 7. Denición de ANOVA
Se dene ahora lo que son los “factores de bloque”.
Los factores de bloque son aquellos que intervienen
si bien es cierto y de alguna manera en el experimento
que se realiza, pero no es de interés el estudiarlos.
Por lo tanto, se los puede denir como factores de
carácter “secundario”. Sin embargo, es importante
el considerarlos porque su inuencia en innegable.
Al momento que se los toma en cuenta dentro
del experimento, se está estableciendo un control
sobre ellos, por tanto, se los ja en distintos niveles
conocidos, y con esto se puede evaluar su efecto. [8]
El diseño experimental para 1 factor comprende 4
tipos básicos de diseño: [1]
• Diseño Completamente al Azar DCA: 0
bloques.
• Diseño en Bloques Completos al Azar DBCA:
1 bloque.
• Diseño en Cuadro Latino: 2 bloques.
• Diseño en Cuadro Greco-Latino: 3 bloques.
En el modelo estadístico para el diseño experimental
la variable estadística se encuentra determinada de la
siguiente manera: [1]
Ec. 2
Donde:
• Y es la variable de salida.
• µ es la media estadística.
• τ es el efecto o error del tratamiento.
• ε es el error aleatorio.
Por tanto, la respuesta está afectada por dos tipos
de variabilidad: el efecto del tratamiento y el error
aleatorio.
Debido a que la media estadística es igual para
todos los tratamientos y el error aleatorio debe ser
el mínimo posible, el término de interés para el
análisis en el Diseño de Experimentos es el efecto
del tratamiento. Este efecto de tratamiento se puede
dividir en varios términos en relación al número de
bloques. En caso de que exista un cambio en el valor
de la variable de salida, se espera entonces que este
cambio sea debido al efecto de tratamiento. [1]
El modelo estadístico planteado no toma en
consideración la interacción que existe entre los
bloques, interacción que en la práctica suele ser
pequeño y debido a esto el modelo se ajusta de manera
adecuada a la práctica.
Denidos todos estos conceptos, el enfoque es
ahora en el diseño experimental base de este artículo,
el Diseño Completamente al Azar abreviado con las
siglas DCA.
El estudio de este artículo se centra en el diseño
completamente al azar como una herramienta de gran
eciencia para la toma de decisiones dentro de la vida
MORILLO, SILVA /
APLICACIÓN DEL MODELO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE AL AZAR PARA EL ANÁLISIS Y TOMA DE
DECISIONES EN CASOS PRÁCTICOS DE INGENIERÍA
ESPE
ENERGÍA MECÁNICA INNOVACIÓN Y FUTURO
No. 9 Vol. 1 / 2020 (10) ISSN 1390 - 7395 (1/10)
Artículo Cientíco / Scientic Paper
- 15 -
Ahora es necesario una vez retomar el concepto
del ANOVA, pero esta vez enfocado al análisis
experimental completamente al azar.
Como se ha mencionado y enfatizado anteriormente
el análisis de la varianza también denominado
ANOVA es la técnica central mediante la cual se
realiza el análisis de los datos experimentales.
El objetivo principal del ANOVA es el de separar
la variación total en cada una de las partes con las
que se consolida cada fuente de variación dentro del
experimento de estudio.
Como se explicó anteriormente en el caso del
diseño completamente al azar se deben separar la
variabilidad debida a los tratamientos y la variabilidad
debida al error.
En el caso de que la variabilidad debido a los
tratamientos predomine de una manera “contundente”
sobre la variabilidad debida al error, se concluye
entonces que los tratamientos tienen efecto o, en otras
palabras, las medias son diferentes, como se evidencia
en la Figura 8.
Figura 8. Variabilidad debido a los tratamientos predomina sobre la
variabilidad debido al error
En el caso opuesto de que los tratamientos no
tengan un dominio claro en el experimento, es decir,
estos contribuyen igual o menos que el error, se puede
concluir que las medias son iguales, ver Figura 9.
Figura 9. Variabilidad debido a los tratamientos NO predomina sobre
la variabilidad debido al error
ingenieril.
Este diseño experimental es sin duda uno de los
modelos más simples debido a que para su análisis
interviene solamente un factor sin bloques.
Los niveles de este único factor son puestos a
prueba considerando un orden aleatorio para este
propósito.
La recomendación más importante a tomar en
cuenta es de no usar este método experimental
cuando se tiene indicios de que otros factores están
interactuando en el proceso.
Una vez que se pone a correr los tratamientos, el
análisis ANOVA debe ser llevado a cabo con el n de
probar las hipótesis.
La hipótesis nula, base de este modelo es que la
media estadística de todos los tratamientos es la misma,
suponiendo que las varianzas obtenidas son iguales.
También se debe considerar que existe un balance
en el experimento cuando existe el mismo número
de repeticiones en cada tratamiento (simbolizando el
número de repeticiones como n).
• n = 10 en caso de que la dispersión sea mayor
a 1.5 sigmas.
• n = 30 en caso de que la dispersión sea menor
a 0.7 sigmas.
El modelo que se plantea para este tratamiento es
el siguiente:
Ec. 3
En este caso el efecto del tratamiento es el que
mueve a la media aritmética de cada experimento con
respecto a la media global.
Ec. 4
Tomando en cuenta el número de elementos que se
van a medir, se tienen dos consideraciones:
• Cuando el número de elementos a medir es
escaso se toma como consideración el universo.
• En caso de que el número de elementos a
medir sean demasiados, es necesario tomar
una muestra y se tiene por tanto un modelo de
efectos aleatorios.
MORILLO, SILVA /
APLICACIÓN DEL MODELO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE AL AZAR PARA EL ANÁLISIS Y TOMA DE
DECISIONES EN CASOS PRÁCTICOS DE INGENIERÍA
- 16 -
ESPE
ENERGÍA MECÁNICA INNOVACIÓN Y FUTURO
No.9 Vol. 1 / 2020 (10) ISSN 1390 - 7395 (1/10)
Artículo Cientíco / Scientic Paper
Los efectos de los tratamientos dentro del diseño
completamente al azar se muestran en la Figura 10:
Figura 10. Representación gráca de los efectos de los tratamientos en
un diseño completamente al azar
Se presenta ahora el análisis cuantitativo de los
conceptos estadísticos para el desarrollo del análisis
de varianza en el diseño experimental completamente
al azar. [9]
Donde:
• k = número de tratamientos
Es el número total de observaciones N o también
llamadas mediciones donde
i
n
es el componente
individual de cada observación.
•
Se dene como la suma de las observaciones de un
tratamiento en especíco i.
•
Es la media aritmética de las observaciones
efectuadas para el tratamiento i -ésimo.
•
Es la suma total de las
mediciones u observaciones realizadas para todos los
tratamientos.
•
Se dene como la media global o promedio de
todas las observaciones realizadas en el estudio
experimental.
•
α
Alfa es el nivel de signicancia dentro del estudio
de estadística y probabilidad. Básicamente, es la
probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es
verdadera. En este artículo se va a utilizar el valor de
0,05 o 5% que signica que existe un 5% de concluir
el rechazo de una hipótesis. [10]
•
El valor-p es la probabilidad de tener un efecto
de signicancia tan extrema como los datos de la
muestra, cuando se asume la veracidad de la hipótesis
nula. [10]
El objetivo principal en el Diseño Completamente
al Azar es el de probar la llamada hipótesis de igualdad
de los tratamientos con respecto a la media aritmética
de la variable de respuesta:
Ec. 5
De una manera equivalente se puede escribir las
anteriores relaciones de la siguiente manera:
01 2
: ... 0
k
H
ττ τ
= = = =
: 0 para algún
Ai
Hi
τ
≠
Ec. 6
Donde:
i
τ
se dene como el efecto del tratamiento
i
que
existe sobre la variable de respuesta.
En el momento que se acepta
0
H
entonces se
conrma que el efecto en la respuesta de los
k
tratamientos existentes es nulo o igual a cero. En el
caso opuesto que se rechace esta hipótesis, entonces se
concluye que al menos uno de los efectos es diferente
a cero.
Para la comprobación de la hipótesis se utiliza
justamente el ANOVA, para lo cual se debe
descomponer en primer lugar la variabilidad total de
los datos en dos componentes:
• La variabilidad existente debida a los
tratamientos.
• La variabilidad correspondiente al error
aleatorio.
MORILLO, SILVA /
APLICACIÓN DEL MODELO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE AL AZAR PARA EL ANÁLISIS Y TOMA DE
DECISIONES EN CASOS PRÁCTICOS DE INGENIERÍA
ESPE
ENERGÍA MECÁNICA INNOVACIÓN Y FUTURO
No. 9 Vol. 1 / 2020 (10) ISSN 1390 - 7395 (1/10)
Artículo Cientíco / Scientic Paper
- 17 -
MORILLO, SILVA /
APLICACIÓN DEL MODELO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE AL AZAR PARA EL ANÁLISIS Y TOMA DE
DECISIONES EN CASOS PRÁCTICOS DE INGENIERÍA
La medida de la variabilidad se representa a través
la suma total de los cuadrados.
Considerando esto se denen las siguientes medidas
de variabilidad: [11]
T TRAT E
SC SC SC= +
Ec. 7
Ec. 8
Donde:
•
T
SC
es la suma de cuadrados total
•
TRAT
SC
es la suma de cuadrados de los
tratamiento
•
E
SC
es la suma de cuadrados del error
Y los grados de libertad:
•
T
SC
tiene
1N −
grados de libertad.
•
TRAT
SC
relacionado con el número de
tratamientos
k
tiene entonces
1k −
grados de
libertad.
•
E
SC
tiene
Nk−
grados de libertad.
Los cuadrados medios se denen como las sumas
de lo cuadrados divididas para sus correspondientes
grados de libertad. Por tanto, se tienen dos casos en
concreto:
1
TRAT
TRAT
SC
CM
k
=
−
Ec. 9
y
E
E
SC
CM
Nk
=
−
Ec. 10
Adicionalmente, se conceptualizan los valores
esperados para los cuadrados medios, donde de igual
manera se tiene uno para el caso los tratamientos y
otro para el error:
( )
2
E
E CM
σ
=
Ec. 11
( )
2
2
1
k
ii
i
TRAT
n
E CM
Nk
τ
σ
=
= +
−
∑
Ec. 12
Por medio de estas expresiones se puede conrmar
que cuando la hipótesis nula es verdadera, entonces,
ambos cuadrados medios estiman la varianza o
2
σ
Tomando entonces en consideración la veracidad
de la hipótesis
0
H
se dene el estadístico
0
F
como:
0
TRAT
E
CM
F
CM
=
Ec. 13
Este estadístico sigue una distribución
F
con
grados de libertad
1k −
en el numerador y con
Nk−
en el denominador.
Se puede con esto concluir que:
• Si
0
F
es grande, la hipótesis base de que no
hay efectos en los tratamientos se contradice,
por otro lado,
• Si
0
F
es pequeño se conrma de esta manera la
validez de la hipótesis principal
0
H
Considerando entonces un nivel de signicancia
α
prejado, se puede rechazar
0
H
cuando
0 , 1,k Nk
FF
α
−−
>
, 1,k Nk
F
α
−−
es el percentil
( )
1 100
α
−×
de la
distribución
F
.
Se rechaza también la hipótesis nula
0
H
en el
momento que el
valor p
α
−<
, donde el
valor p−
no es sino el área debajo de la distribución
, 1,k Nk
F
α
−−
que se encuentra a la derecha del estadístico
0
F
.
Por tanto:
( )
0
valor p P F F−= >
Ec. 14
Un ejemplo práctico de esto, es cuando en una
industria se tienen 4 tipos diferentes de máquinas
que realizan el mismo producto. El tipo de máquina
viene a ser en este caso el tratamiento. Se realiza
- 18 -
ESPE
ENERGÍA MECÁNICA INNOVACIÓN Y FUTURO
No.9 Vol. 1 / 2020 (10) ISSN 1390 - 7395 (1/10)
Artículo Cientíco / Scientic Paper
MORILLO, SILVA /
APLICACIÓN DEL MODELO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE AL AZAR PARA EL ANÁLISIS Y TOMA DE
DECISIONES EN CASOS PRÁCTICOS DE INGENIERÍA
aleatoriamente mediciones del tiempo que se demora
cada máquina para realizar el producto. Cada medición
es una observación.
El experimento a plantear aquí es el siguiente:
¿Existe una inuencia del tipo de máquina para la
realización del producto?
En caso de que no, entonces los tiempos promedio
de los 4 tipos de máquina deben ser estadísticamente
iguales, o en otras palabras, la siguiente hipótesis:
01 2
: ... 0
k
H
ττ τ
= = = =
Es verdadera, y no se rechaza
En caso de que si, se concluye que al menos dos de
los tiempos promedios son estadísticamente diferentes
uno del otro y la hipótesis planteada se rechaza o es
falsa.
Este es justamente el objetivo principal que se
plantea con el ANOVA en el Diseño Completamente
al Azar.
En caso de que se rechace la hipótesis, se sabe
entonces que existe una máquina que produce de
manera diferente a las otras 4, pero estadísticamente,
esto también se lo puede comprobar. Con este n,
se puede utilizar la Diferencia Mínima Signicativa
o LSD. Este método calcula un estadístico que
se compara con la diferencia de medias de cada
tratamiento. Este estadístico se basa en la distribución
T de Student.
/2,
2
E
Nk
CM
LSD t
n
α
−
=
Ec. 15
Donde:
•
/2,Nk
t
α
−
es el valor de la distribución T de
Student evaluada los respectivos grados de
libertad.
•
E
CM
es el cuadrado medio del Error.
•
N
es el número total existente de experimentos
realizados.
•
k
es el número de tratamientos.
• n es el número de réplicas que se realizan por
cada tratamiento.
En caso de que la diferencia de medias sea
mayor al estadístico LSD, se puede concluir que
estadísticamente que la diferencia es SIGNIFICATIVA,
y que este par de tratamientos, o como en este caso del
ejemplo práctico, las dos máquinas analizadas, NO
SON IGUALES, o actúan de manera diferente en la
producción.
Es importante también considerar que el ANOVA
realiza la suposición de que la variable de respuesta
se distribuye de una manera normal con una varianza
constante (esto se debe a que los tratamientos tienen
una varianza similar) y también que las mediciones
realizadas son independientes unas de otras.
Finalmente, la validez del experimento asume
3 supuestos: normalidad, existencia de varianza
constante y por último la independencia.
• La vericación de la normalidad se realiza
mediante una gráca de las observaciones
i
r
en orden ascendente respecto a su valor normal
inverso representado como
i
Z
. Cuando el
gráco obtenido es una tendencia de línea recta,
se puede concluir que se cumple la normalidad.
• El supuesto de varianza constante se comprueba
mediante la gráca de los promedios por nivel
versus los residuos. En este caso se debe
listar cada una de las observaciones en el
orden mediante el cual fueron realizadas, su
promedio y el residuo resultante. Cuando la
gráca muestra un patrón o asimetría clara,
entonces se puede concluir que la varianza no
es constante, caso contrario, lo es.
• Finalmente, el supuesto de independencia es
vericable comprobando el orden aleatorio en
el cual se realizan los experimentos.
Para nalizar esta introducción teórica se realiza
un recuento de las tablas importantes (Tabla 1, 2 y
3) que se utilizan esencialmente en el diseño de
experimentos. [12] [13]
ESPE
ENERGÍA MECÁNICA INNOVACIÓN Y FUTURO
No. 9 Vol. 1 / 2020 (10) ISSN 1390 - 7395 (1/10)
Artículo Cientíco / Scientic Paper
- 19 -
Tabla 1. Puntos críticos al 5% de la distribución F,P(X>x) = 0.05
Tabla 2. Puntos críticos al 10% de la distribución F,P(X>x) = 0.10
Tabla 3. Puntos críticos para la distribución T de Student
2. Materiales y Métodos
Se pone a prueba el análisis experimental por medio
de un caso de estudio típico de la industria ingenieril.
Se tienen 5 máquinas de producción que fabrican
el mismo tipo de producto. Las 5 máquinas son las
mismas en cuanto a características y fabricante se
reere. Pero cada máquina efectúa su mantenimiento
en un taller o empresa distinta. El de chequeo periódico
es el mismo y todos los demás factores alrededor de
cada una de las máquinas es el mismo.
La empresa no puede enviar las 5 máquinas al mismo
taller debido a las limitaciones de los mismos en la
región. Cada taller puede atender a una sola máquina.
Cada uno de estos talleres ha sido identicado con
las primeras 5 letras del abecedario para facilitar su
categorización.
El gerente propietario de la empresa de producción
desea averiguar estadísticamente si existe una
diferencia entre la operatividad y nivel de producción
de cada máquina o caso contrario, las 5 son iguales.
En caso de existir una diferencia, se puede deducir
MORILLO, SILVA /
APLICACIÓN DEL MODELO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE AL AZAR PARA EL ANÁLISIS Y TOMA DE
DECISIONES EN CASOS PRÁCTICOS DE INGENIERÍA
- 20 -
ESPE
ENERGÍA MECÁNICA INNOVACIÓN Y FUTURO
No.9 Vol. 1 / 2020 (10) ISSN 1390 - 7395 (1/10)
Artículo Cientíco / Scientic Paper
MORILLO, SILVA /
APLICACIÓN DEL MODELO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE AL AZAR PARA EL ANÁLISIS Y TOMA DE
DECISIONES EN CASOS PRÁCTICOS DE INGENIERÍA
que el mantenimiento dado a las máquinas de al
menos 2 de los talleres no es el mismo.
Se va a medir el tiempo que demora cada máquina
en realizar un producto.
Se plantea en primer lugar la identicación de las
máquinas, como se muestra en la tabla 4.
Tabla 4. Presión máxima de las llantas recomendada por el fabricante y
tamaño para los 3 tipos de bicicleta
ID Máquina
Proveedor de
Mantenimiento
A
1
Empresa A1
B
2
Empresa B2
C
3
Empresa C3
D
4
Empresa D4
E
5
Empresa E5
Se dene en primer lugar la aleatoriedad de las
mediciones:
• Se toman 5 mediciones al día del tiempo en
minutos que se demora cada máquina en realizar
un producto.Se toman los siguientes horarios:
08:00, 11:00, 14:00, 17:00 y 20:00, ver tabla 5.
• Se realiza una medición por máquina al día.
• Las mediciones se realizan durante 5 días.
• Cada día el orden de las mediciones es distinto.
Tabla 5. Diseño de la aleatoriedad de las mediciones
DÍA
1 2 3 4
5
8:00
A B C D
E
11:00
B A E C
D
14:00
C D B E
A
17:00
D E A B
C
20:00
E C D A
B
El resultado de las mediciones se muestra a
continuación:
Tabla 6. Resultados de las mediciones / observaciones efectuadas
Medición en Minutos
PROM
A
31.53 32.21 30.10 30.14 30.48
30.89
B
30.49 30.47 31.12 28.97 29.54
30.12
C
29.58 28.87 30.15 31.01 30.12
29.95
D
31.27 29.35 29.10 30.56 31.11
30.28
E
29.05 30.41 31.01 30.74 28.78
30.00
Finalmente, para la ejecución de este experimento
se va a aplicar la teoría del diseño experimental
completamente al azar con el n de averiguar si
existe una inuencia del lugar donde se realiza el
mantenimiento con respecto al desempeño de las
máquinas.
3. Resultados y Discusión
Presentado el cuadro de datos en la sección anterior
se presentan los resultados de la ejecución del diseño
experimental completamente al azar en esta parte con
el n de obtener conclusiones de este caso de estudio.
En primer lugar, se realiza un recuento de las
constantes y variables de cálculo de este diseño.
Tabla 7. Resultados de las mediciones / observaciones efectuadas
alfa
0.05
k
5
N
25
k-1
4
N-k
20
A continuación, se muestra el cuadro resultante
de los tratamientos de los datos, el cálculo de la
suma por tratamiento, la suma total, el promedio por
tratamiento, el promedio global, las desviaciones con
respecto a la media global y la varianza.
Tabla 8. Cálculos estadísticos iniciales
Es necesario para los cálculos, determinar los
cuadrados de los valores y también la suma total de
estos cuadrados. Esto se expone en la tabla 9.
Tabla 9. Cálculo de los cuadrados
ESPE
ENERGÍA MECÁNICA INNOVACIÓN Y FUTURO
No. 9 Vol. 1 / 2020 (10) ISSN 1390 - 7395 (1/10)
Artículo Cientíco / Scientic Paper
- 21 -
MORILLO, SILVA /
APLICACIÓN DEL MODELO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE AL AZAR PARA EL ANÁLISIS Y TOMA DE
DECISIONES EN CASOS PRÁCTICOS DE INGENIERÍA
Con estos resultados se puede entonces calcular
los valores de suma de cuadrados. Como se explicó
anteriormente, existen 3 valores: la suma de cuadrados
total, la suma de cuadrados de tratamiento y la del
error. Con estos valores es posible determinar los
cuadrados medios, el valor del estadístico, y el valor-p
que describe la tabla 10.
Tabla 10. Resultados preliminares y cálculo de los estadísticos
El estadístico de comparación F s evalúa con los
grados de libertad k-1 igual a 4, y N-k igual a 20. Se
obtienen las siguientes conclusiones:
0
@ 4, 20
valor p
FF
α
−<
<
Como conclusión preliminar y base de este estudio,
se puede determinar que no todas las máquinas son
iguales, o su desempeño no es el mismo. Es decir, se
rechaza la hipótesis nula.
01 2
: ... 0
k
H
ττ τ
= = = =
Se presenta la tabla 11 con el cálculo de la diferencia
mínima signicativa.
Tabla 11. Cálculo de la diferencia mínima signicativa LSD
Cálculo del LSD con alfa = 0.05
alfa
0.05
N
25
k
5
SC-error
17.05
n
5
t de Student
2.085963447
LSD
5.447846483
La t de Student fue evaluada con alfa dividido para
dos, ó 0.025 y con 25-5 igual a 20 grados de libertad.
El valor se puede obtener de la tabla expuesta en la
sección anterior.
Obtenido este valor, se puede realizar un cuadro
comparativo de la diferencia de medias poblacionales
con el valor del LSD. La diferencia se expresa en
términos de su valor absoluto, y en caso de ser menor
al valor del LSD, entonces, esta diferencia se considera
no signicativa, tal como evidencia la tabla 12.
Tabla 12. Cuadro comparativo de la diferencia de medias poblaciones
con la diferencia mínima signicativa LSD
Se presenta también los cálculos de la vericación
de la normalidad en las observaciones de la tabla 13.
Tabla 13. Cálculos para la vericación de la normalidad
- 22 -
ESPE
ENERGÍA MECÁNICA INNOVACIÓN Y FUTURO
No.9 Vol. 1 / 2020 (10) ISSN 1390 - 7395 (1/10)
Artículo Cientíco / Scientic Paper
MORILLO, SILVA /
APLICACIÓN DEL MODELO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE AL AZAR PARA EL ANÁLISIS Y TOMA DE
DECISIONES EN CASOS PRÁCTICOS DE INGENIERÍA
Figura 11. Gráca de Probabilidad Normal para las observaciones
Finalmente, se presenta el cuadro de cálculo de los
residuos con respecto al promedio de los tratamientos.
Tabla 14. Cálculos de Residuos
Figura 12. Gráco comparativo de los residuos
4. Conclusiones
Se puede asegurar de en este caso de estudio la
aleatoriedad del proceso experimental. Las mediciones
se las tomaron de manera arbitraria sin ningún tipo de
preferencia y durante un horario programado.
A primera vista según los cuadros de resultados
de las observaciones, se puede sugerir que el
tiempo promedio de cada máquina es de 30 minutos
aproximadamente. Sin la realización del estudio
estadístico aparentemente no existe una diferencia
marcada entre cada una de las máquinas.
Las medias muestrales igualmente oscilan en un
aproximado de 30 minutos.
La varianza para cada uno de los tratamientos oscila
entre 0 y 1 y aparentemente no existe una disparidad
entre los datos.
Sin embargo, mediante el cálculo del estadístico
y el valor p se concluye nalmente que, aunque
aparentemente las diferencias no parecen tan
signicativas, los tratamientos no son los mismos, y,
en otras palabras, el rendimiento u operatividad de
todas las máquinas no es el mismo.
La investigación da un paso más adelante con el
cálculo de la diferencia mínima signicativa. Al
comparar la diferencia de medias poblacionales con
este valor LSD se puede concluir que si bien es cierto
puede existir una diferencia entre los tratamientos,
esta no es muy signicativa. La mayor diferencia se
da entre las máquinas A y C, aunque al ser un valor
muy por debajo del LSD no se le puede dar mucha
relevancia.
Los supuestos fueron vericados. Por un lado,
la aleatoriedad como se indicó previamente ha sido
asegurada. En segundo lugar, la normalidad de los
datos se puede atestiguar en la gráca de probabilidad
normal donde la línea de tendencia de los datos tiene
un coeciente R cuadrado de 0.97 cercano a 1, lo cual
aproxima de gran manera la tendencia de línea recta
de esta gráca, que a su vez asegura la normalidad.
El gráco de residuos, el tercer supuesto, es
expuesto al nal. En él se puede observar ningún
tipo de patrón extraño o repetitivo, con esto se puede
nalmente concluir que la varianza es constante en los
tratamientos.
ESPE
ENERGÍA MECÁNICA INNOVACIÓN Y FUTURO
No. 9 Vol. 1 / 2020 (10) ISSN 1390 - 7395 (1/10)
Artículo Cientíco / Scientic Paper
- 23 -
MORILLO, SILVA /
APLICACIÓN DEL MODELO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE AL AZAR PARA EL ANÁLISIS Y TOMA DE
DECISIONES EN CASOS PRÁCTICOS DE INGENIERÍA
Se dene de esta manera el proceso de análisis
del experimento. En primer lugar, la preparación del
experimento en sí, en segundo lugar, la ejecución
para luego realizar el procesamiento de los datos y
nalmente la comprobación de los supuestos. De
esta manera, se puede nalizar este caso de estudio
al exponer que si bien es cierto todas las máquinas
no tienen el mismo comportamiento, debido
posiblemente al proveedor de mantenimiento de
cada una de ellas, la diferencia existente no puede
considerarse signicativa.
5. Referencias
[1] H. Gutierrez Pulido y R. Salazar, Análisis y diseño
de experimentos, vol. Segunda Edición, México:
McGraw-Hill Interamericana, 2008.
[2] V. Yépez, «Deniciones básicas del diseño
de experimentos,» Universitat Politécnica de
Valencia, 15 06 2019. [En línea]. Available:
https://victoryepes.blogs.upv.es/2013/04/24/
definiciones-basicas-del-diseno-de-
experimentos/.
[3] Universidad de las Américas Puebla - UDLA, «4.
TEORÍA DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS,»
Catarina - UDLA - Puebla, 20 03 2019. [En línea].
Available: http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/
documentos/lem/orian_m_a/capitulo4.pdf.
[4] Escolares.net, «Conceptos de Estadística,»
Escolares, 20 05 2019. [En línea]. Available:
https://www.escolares.net/matematicas/
conceptos-de-estadistica/.
[5] catarina.udlap, «Capítulo 6: Diseño
Experimental,» Universidad de las Américas
Puebla, 18 04 2019. [En línea]. Available: http://
catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lii/
granados_m_d/capitulo6.pdf.
[6] minitab, «¿Qué es la aleatorización?,» support.
minitab, 10 03 2019. [En línea]. Available: https://
support.minitab.com/es-mx/minitab/19/help-
and-how-to/modeling-statistics/doe/supporting-
topics/basics/what-is-randomization/.
[7] StatisticsHowTo, «ANOVA Test: Denition,
Types, Examples,» DataScienceCentral, 1
02 2019. [En línea]. Available: https://www.
statisticshowto.datasciencecentral.com/
probability-and-statistics/hypothesis-testing/
anova/.
[8] A. M. Lara Porras, «Diseño Estadístico de
Experimentos,» Universidad de Granada
(España), 13 01 2019. [En línea]. Available:
https://www.ugr.es/~bioestad/guiaspss/practica7/
Contenidos.pdf.
[9] UNAM MX, “Diseño Completamente al Azar,”
DPYE IIMAS, 10 01 2020. [Online]. Available:
http://www.dpye.iimas.unam.mx/patricia/
indexer/completamente_al_azar.
[10] Addlink Software Cientíco, “Comprendamos
las pruebas de hiótesis, niveles de signicancia
alfa y p valores en estadística,” addlink, 30 12
2020. [Online]. Available: https://www.addlink.
es/noticias/minitab/2873-comprendamos-las-
pruebas-de-hipotesis-niveles-de-significacion-
alfa-y-p-valores-en-estadistica.
[11] J. Salinas, “ANOVA Análisis de Varianza,”
UGR ES, 30 01 2020. [Online]. Available: https://
www.ugr.es/~jsalinas/apuntes/Anova.pdf.
[12] Scientic European Federation, “Distribución
t Student,” Osteopaths, 01 01 2019. [Online].
Available: https://www.scientic-european-
federation-osteopaths.org/wp-content/
uploads/2019/01/Distribucion_tStudent.pdf.
[Accessed 20 02 2020].
[13] J. A. Mellado Bosque, “Distribución F,”
UAAAN MX, 15 01 2020. [Online]. Available:
http://www.uaaan.mx/~jmelbos/tablas/distf.pdf.
[14] IDEAS, «Image Data Exploration and Analysis
Software User’s Manual,» Amnis Corporation,
01 07 2010. [En línea]. Available: https://med.
virginia.edu/ow-cytometry-facility/wp-content/
uploads/sites/170/2015/10/Amnis-ImageStream-
IDEAS-4_0-Manual.pdf.
- 24 -
ESPE
ENERGÍA MECÁNICA INNOVACIÓN Y FUTURO
No.9 Vol. 1 / 2020 (10) ISSN 1390 - 7395 (1/10)
Artículo Cientíco / Scientic Paper
6. Biografía
1
Eliana Morillo. – Magíster en
Dirección Industrial (Universidad
de Buenos Aires), Becaria
Universidades de Excelencia
2014 (Secretaría de Educación
Superior, Ciencia, Tecnología e
Innovación de la República del
Ecuador), Ingeniera Automotriz
(Universidad de Fuerzas Armadas ESPE).
2
Sebastián Silva. – Master of
Science in Mechatronics
(Technische Universität Hamburg
– Harburg), Máster en
Administración de Empresas
(MBA) con mención en Calidad y
Productividad (Ponticia
Universidad Católica del
Ecuador), Ingeniero Mecánico (Escuela Politécnica
Nacional). Inspector de calidad de partes de aviones y
equipo de soporte en tierra Airbus con la empresa DB
Schenker en Hamburgo, Alemania.
REGISTRO DE LA PUBLICACIÓN
Fecha recepción 13 marzo 2020
Fecha aceptación 13 mayo 2020
MORILLO, SILVA /
APLICACIÓN DEL MODELO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE AL AZAR PARA EL ANÁLISIS Y TOMA DE
DECISIONES EN CASOS PRÁCTICOS DE INGENIERÍA