Revista Energía Mecánica Innovación y Futuro, V Edición 2016, No. 7 (15)
ENERGÍA MECÁNICA INNOVACIÓN Y FUTURO
No. 5 Vol. 1 / 2016 (15) ISSN 1390 - 7395 (7/15)
Artículo Cientíco / Scientic Paper
- 69 -
ROMAN W., BARRENO N., DESARROLLO DE UN MÓDULO DIDÁCTICO EN MATLAB PARA EL ANÁLISIS Y EXPANSIÓN DE LAS SERIES DE TAYLOR
Y LAURENT.
DESARROLLO DE UN MÓDULO DIDÁCTICO EN MATLAB PARA EL ANÁLISIS
Y EXPANSIÓN DE LAS SERIES DE TAYLOR Y LAURENT
DEVELOPMENT OF A DIDACTIC MODULE IN MATLAB FOR THE ANALYSIS
AND EXPANSION OF THE TAYLOR AND LAURENT SERIES
Wilson Román 1 , Norma Barreno 2
1,2 Universidad de Fuerzas Armadas ESPE – Departamento de Ciencias Exactas, Quijano y Ordoñez y Marques de Maenza s/n.
e – mail : 1 wmroman@espe.edu.ec 2 npbarreno@espe.edu.ec
RESUMEN
En la formación académica del
estudiante de ingeniería uno de los
objetivos se orienta en la formulación de
modelos matemáticos, ya sean físicos,
mecánicos, eléctricos, etc., y estos a su
vez tienen una representación formal
mediante ecuaciones diferenciales las
mismas que necesitan ser resueltas
para buscar solución a los problemas
planteados, uno de los métodos de
solución es la utilización de las series
de potencias donde las Series de Taylor
y Laurent son sus representantes
principales.
Se presenta el desarrollo de un módulo
didáctico para analizar y expandir las
Series de Taylor y Laurent utilizando
MuPAD para el cálculo simbólico y
la interfaz gráca de MatLab para la
presentación de resultados, el módulo
didáctico se fundamenta en la necesidad
de contar con una herramieta informática
que permita la representación de una
función compleja mediante series de
potencia, en las que se visualice los
términos de la expansión en serie y la
representación gráca del círculo de
convergencia de la serie.
El software Matlab es una herramienta
de altas prestaciones para cálculo
numérico y visualización, pero no muy
fuerte en el cálculo simbólico, de ahí la
importancia del presente artículo.
Palabras clave
Serie de Taylor, Serie de Laurent, módulo
didáctico, Matlab.
ABSTRACT
In the academic formation of the student
of engineering one of the objectives
are oriented in the formulation of
the mathematical models, be they
physical, mechanical, electrical, etc.,
and these have in turn have a formal
representation by means of differential
equations that they need to be To nd
the solution to the problems posed, one
of the solution methods is the use of the
series of powers where the Taylor and
Laurent series are their main events.
The development of a didactic module
to analyze and expand the Taylor and
Laurent series using MuPAD for the
symbolic calculation and the MatLab
graphical interface for the prediction of
results is presented, the didactic module
is based on the need to have a computer
tool It allows the representation of a
complementary function through the
series of power, in which the terms
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of the expansion in series and the
graphical representation of the circle of
convergence of the series are displayed.
Matlab software is a tool of high
performance for numerical calculation
and visualization, but not very strong
in the symbolic calculation, hence the
importance of this article.
Keywords
Taylor series, Laurent series, didactic
module, Matlab.
1. INTRODUCCIÓN
La matemática constituye el pilar
fundamental de la formación de un
ingeniero; concibiendo a la misma como
la ciencia que contribuye al análisis, la
criticidad, la reexión y la argumentación
que requiere un estudiante para dar
soporte a las otras ciencias.
En el campo de la modelación
matemática así como en la solución
de ecuaciones diferenciales una de las
estrategias consiste en representar
funciones reales y complejas mediante
series de potencias, dentro de ellas la de
mayor relevancia son: la Serie de Taylor
que aproxima únicamente funciones
analíticas; y la Serie de Laurent que
surge a partir del análisis de funciones
no analíticas en un punto; es decir,
La Serie de Laurent constituye una
generalización de la Serie de Taylor.
El trabajar con funciones de variable
compleja implica el desarollo de un
módulo didáctico utilizando MadPAD de
MatLab con la nalidad de contribuir
en la revisión conceptual de temas
como función de variable compleja,
diferenciabilidad, funciones analíticas,
cálculo de integrales en el campo
complejo, identicación de puntos
ordinarios y singulares de las funciones
de variable compleja analizando
su desarrollo en Serie de Laurent,
aplicando en la resolución de problemas
de ingeniería.
2. FUNDAMENTO TEÓRICO
La Serie de Laurent es una serie de
potencias con exponentes enteros
positivos y negativos, en tanto que la
Serie de Taylor es una serie solo con
exponentes enteros no negativos, se
comprueba que las series de Laurent
permiten caracterizar los diferentes
tipos de singularidades aisladas, y se
concluye con una aplicación en Matlab
que muestra como hallar los términos de
Laurent de algunas funciones concretas.
2.1 Series de Taylor
Una serie de Taylor es una aproximación
de funciones mediante una serie
de potencias o suma de potencias
enteras de polinomios se calcula a
partir de las derivadas de la función
para un determinado valor o punto
es sucientemente derivable sobre
la función y un entorno sobre el cual
converja la serie. Si esta serie está
centrada sobre el punto cero, se le
denomina serie de Maclaurin, z0=0.
Teorema 1.
Sea
fz
^h
una función analítica en un
disco abierto
zz R
0
1
-
, centrado
en
z0
y de radio
R
. Entonces, en todo
punto z de ese disco admite
fz
^h
una
representación en serie de potencia.
[1]
fz az zEc.1
n0
n
n0
=-
3
=
^^
hh
/
Donde:
an= son los coecientes
z = un punto del plano ¢.
z0 = centro del entorno.
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Luego, una serie de potencia puede
derivarse término a término en el interior
de su círculo de convergencia, es decir:
fz az z
n0
n
n0
=-
3
=
^^
hh
/
fz na zz
n
n
n
0
1
1
l
=-
3
-
=
^^
hh
/
Derivando sucesivamente, se tiene:
Despejando el coeciente an y
remplazándole en la ec. (1) se tiene la
formulación del siguiente teorema.
Teorema 2 [Teorema de Taylor]
Sea
fz
^h
una función analítica en un
disco abierto
zz R
0
1
-
, centrado en
z0
y de radio R. Entonces,
fz
^h
tiene
la representación en serie de potencias
[2].
fz
n!
fa
za Ec.2
n
n0
n
=-
3
=
^^^
^
hhh
h
/
Ejemplos:
Expanda fz
z1
1
=
-
^h
en una serie de
Taylor de centro
zi2
0=
Resolución:
Derivando:
Fz
1z
1
fz (1 z)
1
fz (1 z)
2
fz
(1 z)
23
2
3
4
=-
=- -
=-
=-
-
l
m
n
^
^
^
^
^
h
h
h
h
h
Se concluye:
f2i
1i
n!
n
(n 1)
=-+
^^
^
hh
h
La serie de Taylor seria:
1z
1
12i
1
z2i
n1
n0
n1
-=--
3
+
=
+
^^
hh
/
2.2 Series de Laurent
Función Holomorfa
Una función f es holomorfa en un punto
z0
si es derivable en todos los puntos de
zh!
.
Las series de Laurent son una buena
generalización de las series de Taylor,
considerando que Taylor trabaja
solamente con funciones analíticas en
tanto que Laurent aborda funciones
analíticas y no analíticas.
Teorema 3
Sea f analítica dentro del dominio anular
D denido por
zz R
0
1
-
. Entonces
f tiene la representación en serie de
potencias.
fz az
aE
c.3
n
n
n
=-
3
3
=-
^^
hh
/
Ejemplos:
1.Expanda fz
zz
1
1
=-
^^
hh
en una serie
de Laurent válida para .z
12
2
11
-
Resolución:
fz
z
1
z1
1
fz fz
fz
z
1
2z2
1
2
1
1z2
1
1
2
112
z2 .........
2
1
2
z2
2
z2
...........
12
1
23
3
=-+-=+
=-=-+-=-
+-
=--
-+
=
-
+
---
+
^
^
^
^^h
h
h
h
h
:
D
fz nn 1n 2a zz
n0
n3
n3
n=-
--
3
-
=
^^^ ^
hhh h
/
fz nn 1a zz
n0
n2
n2
m=- -
3
-
=
^^^
hhh
/
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f(z) z1
1
1z2
1
z2
1
1z2
1
1
z2
11z2
1.....
z2
1
(z 2)
1
(z 2)
1.....
2
23
=-=+-
=-+-
=---+
=
-
-
-
+
-
+
:
D
La serie es:
fz ...(z 2)
1
z2
1
2
1
2
z2
2
z2
...
22
3
2
=-
-+--+
-
--+
^
^
h
h
2.3 Ceros y Polos
Clasicación de los puntos singula-
res aislados
Un punto singular aislado
zz
0
=
de
una función compleja f se clasica
dependiendo de, si la parte principal
de su expansión de Laurent contiene
un cero, un número nito o un número
innito de términos.
Si la parte principal es cero, esto es, todos
los coecientes ak son cero, entonces
zz
0
=
se denomina una singularidad
removible.
Si la parte principal contiene un número
nito de términos no nulos, entonces
zz
0
=
se denomina un polo. Si, para este
caso, el último coeciente no nulo es a-n
donde n≥1, se dice entonces que
zz
0
=
es un polo de orden n.
Si la parte principal contiene un número
nito de términos no nulos, entonces
zz
0
=
se denomina singularidad esencial.
2.4 Residuos
Si una función compleja f(z) tiene un polo
en el punto
zz
0
=
entonces el coeciente
a-1 del término
zz
1
0
-
en la expansión en
serie de Laurent de f(z) alrededor de es
zz
0
=
es llamado el residuo de f(z) en el
punto
zz
0
=
[2].
Teorema 4
Se considera el caso cuando f(z) tiene
un polo simple en
zz
0
=
.
Esto implica, de la denición de polo
simple, que:
fz zz
aaazz
0
1
01 0f
=
-
++
-+
-
^^
hh
zz R
0
11c-
en un anillo apropiado. Al multiplicar por
zz
0
=
se tiene:
zzfz aazz
0100
f
-=+-+
-
^^^h hh
que es una expansión en serie de Taylor
de
zzfz
0
-
^^
hh
. Si z tiende a z0 entonces
se obtiene el resultado, residuo en a,
polo simple en:
.Ec 4
zlim zzfz a
0
zz
01
0
=- =
"
-
^^
hh
6@
Entonces este límite da una forma para
calcular el resíduo en un polo simple.
Pero si f(z) tiene un polo de orden m en
zz
0
=
, primero se multiplica f(z) por
zz
m
0
-
^h
. Si m≥2 entonces hay que derivar
tantas veces como sea necesario (esto
es, m-1 veces) para hacer a-1 el primer
término, sin el factor
zz
0
=
.
Teorema 5
La fórmula general para el residuo de un
polo de orden m es:
m1!
1
lim
dz
d
zzfz Ec.5
zz
m1
m1
0
m
0
-
-
"
-
-
^^^
hhh
6@
&0
donde el factor (m-1)! surge cuando el
término
azz1
m
10
--
-
^h
es derivado m-1
veces.
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Ejemplo:
Determine el residuo de:
fz
z12z 1
2z
2
=
+-
^^^
hhh
en cada uno de sus polos en el plano
nito z.
Resolución:
Factorizando el denominador se tiene
fz
zjzj2z 1
2z
=-+ -
^^^^
hhh h
asi que f(z) tiene polos simples en z=j,-j
y .z
2
1
=
Por la Ecuación 4, se obtiene el residuo
en z=j
lim zj
zjzj2z 1
2z
2j 2j 1
2j
5
12j
zj
=-
-+ -
=-
=- +
"
^
^
^^^
h
h
hh h
Se obtiene el residuo en z=-j
lim zj
zjzj2z 1
2z
2j 2j 1
2j
5
12j
zj
=+
-+ -
=---
-
=- -
"-
^
^
^^^
h
h
hh h
Obtenemos el residuo en .z
2
1
=
lim z2
1
zjzjz2
1
2z
2
1j2
1j
2
1
5
2
z2
1
=-
-+-
=
-+
=-
"
a
a
a
^^
a
k
k
k
hh
k
Nótese en este caso la importancia de
expresar 2z-1 como .z2
2
1
-
a
k
3. APLICACIONES
Series de Taylor
3.1 Aproximación de funciones
mediante polinomios
Al realizar una aproximación con una
serie de Taylor se realiza una suma
nita; Es decir, escoger el grado hasta
el que se desarrollará el polinomio.
La exactitud de la aproximación aumenta
con el grado de la serie.
Se obtiene una aproximación de la
función por medio del polinomio de
Taylor de grado 2 en z=8.
Así, derivar y evaluar con z=8
fz z
3
=
^h
zx f8 2
fz 3
1xf812
1
fz 3
1xf812
1
fz 9
2
xf8144
1
3
1
3
2
3
1
3
5
&
&
&
&
ll
ll
mm
==
==
==
=- =-
-
-
-
^
^
^
^
^
^
^
^
h
h
h
h
h
h
h
h
En estos términos, el polinomio de Taylor
de segundo grado es:
Tz f8 1!
f8
x8 2!
f8
!x 8
2
2
lm
=+ -+ -
^^^^^^
hhhhhh
3.2 Estimación de integral denida
Usar una serie de potencias para calcular
un valor aproximado de:
ed
z
z
0
1
2
-
#
La serie de la función ez es sencilla de
hallar.
Para hallar la serie de
e
z2
- lo más
recomendable y para simplicar cálculos
se sustituyen z por -z2 en la serie de la
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función conocida y se obtiene [4].
e1z2
z!3
z!4
z!
z2
466
2f
=- +-
+-
-
Al reemplazar la serie en la integral, se
tiene:
edzz
3
z
5.2!
z
7.3!
z
9.4!
z
13
1
10
1
42
1
216
1
z
0
135 79
0
1
2f
f
=- +-+-
=- +-+-
-
:
D
#
Sumando los cuatro primeros términos
se tiene [4].
edz0,74
z
0
1
2
.
-
#
3.3 Cálculos de límites
Otra aplicación de las series de Taylor es
el cálculo de límites
Ejemplo:
Evaluar:
lim z
e1z
z0
2
z--
"
como
e
n!
z
z
n
n0
=
3
=
/
entonces
lim z
e1z
lim z
11!
z
2!
z
3!
z
1z
lim 2
1
3!
z
4!
z
5!
z...
2
1
z0
2
z
z0
2
23
z0
23
f
--
=
++++--
=++++
=
"
"
"
a
a
k
k
3.4 Resolución de ecuaciones
diferenciales:
Sea la ecuación diferencial ordinaria y el
valor inicial: ,
dx
dy fxy
yx y
00
=
=
^
^
h
h
Z
[
\
]
]
]
]
]
]
]
]
La integral está dada por la aproximación
de y=y(x)
yx yx fx.y xx
2!
fx.y xx
3!
fx.y xx
...
00
00
00 0
2
00 0
3
.
+-
+-
+-+
l
m
^^
^
^
^
^
^
^
hh
h
h
h
h
h
h
Se puede aproximar la solución de la
ecuación diferencial (función) para un
punto cercano al valor inicial, centrando
una serie de Taylor en el valor inicial en
este punto.
Residuos
Tiene aplicaciones en matemática
aplicada y física.
Es útil para cálculo de varios tipos de
integrales reales. Como:
Integrales de la forma:
f(cos,sin )d
0
2
ii
i
r
#
Integrales impropias:
fxdx
3
3
-
^h
#
4. RESULTADOS Y PROGRAMA EN
MATLAB
Se realiza el programa Matlab utilizando
MuPAD y Guide con el objetivo de obtener
las expansiones en series de Taylor y
Laurent, una vez que el usuario ingrese
la función analítica a ser analizada.
yx yx yx xx 2!
yx xx
3!
yx xx
...
000
00
2
00
3
.+-+-
+-+
l
m
n
^^
^^
^^^^
hh
h
h
h
hhh
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La programación es orientada con la
nalidad de tener un cálculo simbólico
coherente con los resultados que el
estudiante debe alcanzar al desarrollar
sus ejercicios en su cuaderno de apuntes.
A continuación, se presenta los
resultados de los trabajos realizados.
Serie de Taylor
Figura 1. Interfaz para la aproximación de una fun-
ción mediante Serie de Taylor
Serie de Laurent
Figura 2. Interfaz que muestra la expansión en Se-
rie de Laurent
Figura 3. Interfaz para la expansión de la serie.
Figura 4. Interfaz para visualizar el círculo de con-
vergencia y los puntos singulares
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5. CONCLUSIONES
• Se puede evidenciar que una función
puede ser expandida dependiendo
del caso en una serie de Taylor o
Serie de Laurent.
• El programa de Matlab permite
comprobar si la serie obtenida de
cualquier tipo de función (analítica o
no) es de Taylor o Laurent; además
que sus resultados concuerdan con
el desarrollo manual realizado por los
estudiantes.
• El módulo didáctico facilita el proceso
de enseñanza-aprendizaje del
estudio de series, polos y residuos en
el plano complejo.
6. REFERENCIAS
[1] G. James, Matemáticas Avanzadas
para la Ingeniería, Pearson
Educación,México, 2da edición,
2002, p. 59.
[2] D. Zill, M. Dewar, Matemática
avanzada para la ingeniería 2,
McGraw-Hill, 2008, pp. 489-504.
[3] P. O´Neil, Matemática Avanzada
para la ingeniería 2, Mc. Graw Hill,
2008, pp. 489 - 504.
[4] L. Sanguña,A. Garces, C. Caguana,
B. Ausay, Aplicaciones de
Series de Taylor y Maclauri,
[online]. Disponible en: http://
documents.tips/documents/
cionesdeseriesdetaylorymaclaurin.
html.
7. BIOGRAFÍA
1Wilson Marcelo Román
Vargas
Doctor en Matemática,
Magíster en Matemática
Aplicada, Magíster en
Informática Aplicada,
Diplomado en
Estadística Informática,
Diplomado en Gestión
del Aprendizaje Universitario, Docente
tiempo completo del Departamento de
Ciencias Exactas de la ESPE Extensión
Latacunga.
2Norma del Pilar Barreno
Layedra
Ingeniera en sistemas,
Magister en Matemática
Básica, Diplomado en
Docencia matemática,
Docente tiempo parcial
del Departamento de
Ciencias Exactas de la
ESPE Extensión Latacunga.
REGISTRO DE LA PUBLICACIÓN
Fecha recepción 28 julio 2016
Fecha aceptación 19 diciembre 2016
ROMAN W., BARRENO N., DESARROLLO DE UN MÓDULO DIDÁCTICO EN MATLAB PARA EL ANÁLISIS Y EXPANSIÓN DE LAS SERIES DE TAYLOR
Y LAURENT.