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Resumen
El presente artículo muestra una propuesta pedagógica para la enseñanza del objeto fracción y la iniciación a parte de su álgebra
(adición y sustracción) para niños de quinto grado, basada en las teorías desarrolladas por Piaget, Vigotsky, Bruner y Ausubel. Esta
propuesta retoma métodos de enseñanza, conceptos matemáticos conocidos y utilizados desde hace varias décadas en educación ma-
temática desde una perspectiva completamente distinta y novedosa que busca contribuir con la mejora de la calidad educativa en el
área. Fue aplicada a niños de doce años de edad, pero puede ser aplicada a niños de otras edades. Las actividades pedagógicas en
aula parten de la elaboración de un vitral inspirado en los inicios del arte cubista para explicar de forma concreta los contenidos.
Palabras claves:
Abstract
-
takes methods of education, known mathematical concepts that has been used for several decades in mathematical educa-
area. It was applied to twelve-year-old children but it can be applied to children of other ages. The pedagogic activities in class-
room starts with the development of a vitral inspired by the beginnings of the cubist art to explain concretely the contents.
Keywords:
La geometría y el arte cubista como estrategia
de enseñanza del objeto fracción:
Un nuevo enfoque
Geometry and cubist art as a teaching strategy of the
fraction object: A new approach
Antonio Di Teodoro
1
, María Fernanda Romero Trallero
2
Recibido: 08-12-2019 Aceptado: 27-04-2020
1
Universidad San Francisco de Quito, Colegio Politécnico, Departamento de matemáticas, Quito, Ecuador. nditeodoro@usfq.edu.ec
2
Grupo de investigación en Educación del Colegio Integral El Ávila, Colegio Integral El Ávila, Caracas, Venezuela.
mfromero@elavila.org
ISSN: XXXXXXXXXXXXX
https://journal.espe.edu.ec/ojs/index.php/investigacion-educativa/
DOI: XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
REIE Vol. 1, Num 1 - abril 2022
30
Revista Ecuatoriana de Investigación Educativa
I.
L
os docentes, a lo largo de su carrera, acumulan gran
cantidad de vivencias, aprendizajes y retos. Los alum-
nos siempre son distintos, pero hay un factor que persiste
en el tiempo, la aprehensión hacia las matemáticas y el re-
chazo a las fracciones de muchos estudiantes.
Muchos han sido los artículos, textos y trabajos de in-
vestigación que se han escrito respecto a las matemáticas
y fracciones, algunos de ellos son: Acerca de dicultades
para la enseñanza y el aprendizaje de las fracciones pu-
blicado por la revista Ema en el 2001; Interpretando la
comprensión matemática en escenarios básicos de valora-
ción. Un estudio sobre las interferencias en el uso de los
signicados de la fracción, Dicultades experimentadas
por el maestro de primaria en la enseñanza de fracciones,
publicadas por Relime en el 2008 y 2010 respectivamen-
te; Las fracciones son un problema publicado en Quehacer
educativa en el 2009; Dicultades en el aprendizaje de las
fracciones y el conocimiento del profesor publicado por la
-
do Construyendo el concepto de fracción y sus diferentes
signicados con los docentes de primaria de la institución
educativa San Andrés de Girardota realizado por Claudia
Hincapié en ese mismo año; Las fracciones: ¿Problema de
aprendizaje o problemas de la enseñanza? Publicado por la
revista Pilquen en el 2012; La actitud hacia las matemáti-
cas y el logro de los aprendizajes de los estudiantes de las
instituciones educativas primarias del distrito de Copani
- Yunguyo 2017, tesis realizada por Marivel Ysmena Sagua
para recibir su título de magister en Perú, entre muchos
otros.
Tomando en cuenta esta situación, se diseñó una estrate-
gia pedagógica para la enseñanza del objeto fracción. Esta
constituye una propuesta que busca acercar al estudiante a
la matemática de una forma sencilla que contribuya a su-
perar la aprehensión hacia el área. La estrategia parte de
la desvinculación del alumno con la clase de matemática
tradicional, basada en la exposición y uso del pizarrón, a
una basada en la vivencia y experiencia. En ella se presenta
una situación motivadora al estudiante que lo conecte con
el contenido a aprender, lo que le permite no centrarse en el
proceso sino en el aprendizaje per se. La situación motiva-
dora en este caso, es un proyecto de arte: la elaboración de
un vitral inspirado en el movimiento artístico del cubismo.
La estrategia pedagógica se inspiró en los trabajos de
Pablo Picasso, Piet Mondrian, las formas geométricas bá-
sicas (el triángulo, el cuadrado y el rectángulo) y se funda-
menta, desde el punto de vista pedagógico, en los aportes
realizados por Piaget, Vigotsky, Ausubel y Dewey a la teo-
ría constructivista.
De acuerdo a esta teoría, el aprendizaje es un proceso
activo donde cada estudiante construye el conocimiento
basándose en el saber previo, sus experiencias y las cone-
xiones que hace entre estas. Como consecuencia, el alum-
proceso de adaptación. Es por esto que, en este enfoque, el
papel más importante lo tiene el alumno y no el docente,
este se convierte en un facilitador del proceso. El alumno
es el líder de su desarrollo educativo al ser el creador de
su propio aprendizaje, según esta teoría el alumno llega a
valorar más el proceso de aprender que el aprendizaje en sí
mismo. La labor de un docente, de acuerdo a estos autores,
tiene como objetivo presentar a los alumnos la información
-
tos cognitivos que impulsen al niño a buscar respuestas que
eventualmente lo lleven a construir el nuevo aprendizaje.
En el caso de estudio presentado, se trabajó con alum-
nos cursantes de quinto grado en un colegio regular (no
está catalogado como una institución que brinda educación
especial) ubicado en Caracas, Venezuela que tenían una
edad promedio de 12 años. Según los estudios realizados
por Piaget sobre los estadios del desarrollo, a esta edad los
niños se encuentran empezando la etapa de las operaciones
formales, apenas han cerrado el estadio de las operaciones
concretas, por lo que están empezando a desarrollar una
visión más abstracta del mundo y a utilizar la lógica formal.
II.
Sin importar el material empleado, los docentes se en-
frentan a un verdadero reto al preparar las clases para en-
señar fracciones. Los métodos utilizados hasta el momento
no permiten hacer de forma concreta la construcción del co-
nocimiento en cada paso. Los textos utilizan con frecuencia
chocolates, tortas, caramelos y dibujos para explicar el con-
cepto de fracción, la comparación, la adición y sustracción
de fracciones con igual denominador; pero el verdadero
problema se presenta al explicar las fracciones impropias,
mixtas (también llamados números mixtos), comparación
de fracciones, adiciones y sustracciones de fracciones con
distinto denominador. Esta situación se mantiene indistin-
tamente del año de publicación o el tipo de libro usado, ya
-
co. La información disponible a través de medios digitales,
en su mayoría, no es muy distinta, suele ser muy teórica,
los ejemplos y ejercicios propuestos para realizar tratan su-
cómo representar una fracción propia; no profundizan y
tienen poco alcance. Para aprender y entender las fraccio-
nes a profundidad, la abstracción se hace muy necesaria
y aquellos niños que, por sus características individuales,
requieren trabajar de forma concreta, se sienten frustrados,
lo que hace tortuoso y difícil el aprendizaje de este tema.
Según De Guzmán & Navarro (s.f.), en la educación
matemática lo más importante debe ser la manipulación de
objetos matemáticos luego de su comprensión, la activa-
ción de la capacidad mental, el ejercicio de la creatividad,
-
miento a través de la propia actividad mental, la prepara-
ción para los problemas de la ciencia, la vida y los retos de
la tecnología.
31
N.
o
1 - 2022
Al iniciarse el aprendizaje del objeto fracción en la edu-
cación primaria, los niños se encuentran (de acuerdo a Pia-
get) en el estadio de las operaciones concretas, por lo que
-
jeto abstracto y desconocido llamado fracción. Un dibujo
o un chocolate por sí solos no brindan el acompañamiento
concreto que el niño necesita.
De Guzmán y Navarro (1993) en su trabajo sostienen
que:
-
metría intuitiva en nuestros programas, del que fue cul-
pable la corriente hacia la «matemática moderna», hoy
se considera una necesidad ineludible, desde un punto
-
rar el contenido espacial e intuitivo en toda la matemáti-
Los números fraccionarios son una estructura de una
riqueza y complejidad que encuentra aplicaciones en
una multiplicidad de contextos: la ciencia, la técnica, el
arte y la vida cotidiana. En cada uno de estos contextos
las fracciones se presentan con una diversidad de signi-
Las fracciones no se limitan al lenguaje matemático,
forman parte de la vida cotidiana; por ello, es preciso que
se retome no sólo esa visión natural de las fracciones, sino
también lo que es importante en educación matemática. No
es de la teoría a la práctica como los niños van a adquirir
el aprendizaje; por el contrario, es de la práctica a la teoría
-
cho más allá de la vinculación del objeto fracción a su vida,
La razón de que estos algoritmos se pueden convertir en
reglas sin sentido puede ser debida a una introducción
demasiado temprana en la escuela (traslación demasia-
do rápida hacia el manejo de símbolos sin la existencia
de un esquema conceptual), pero también en algunos
casos por una introducción desvinculada de un funda-
(falta de la existencia de un «modelo de compresión»).
(p.133).
La problemática de la enseñanza y aprendizaje de las
fracciones y la matemática en general, está ligada a un pro-
blema mayor, la calidad educativa. Este ha sido un tema de
gran preocupación en la última década, sobre todo en Lati-
noamérica. Numerosos entes gubernamentales y no guber-
namentales han volcado sus esfuerzos a registrar la realidad
educativa y hacer llamados de alerta ante los alarmantes
hallazgos entre los que podemos mencionar:
Más de 617 millones de niños y adolescentes no están
alcanzando los niveles mínimos de competencia (NMCs)
en lectura y matemáticas de acuerdo con las nuevas estima-
ciones del Instituto de Estadística de la UNESCO (UIS).
(UNESCO, 2017, p. 1). Esto lleva a plantear el estado ac-
tual de cómo se está proyectando las matemáticas en los
colegios del Ecuador.
En los últimos años, el Ministerio de Educación del
Ecuador ha buscado sumar esfuerzos para mejorar el proce-
so educativo creando reformas curriculares para desarrollar
las capacidades de realizar conjeturas, aplicar información,
descubrir, comunicar ideas, de forma que los estudiantes
desarrollen la capacidad de argumentar y explicar los pro-
cesos utilizados en la resolución de un problema, demos-
trando su pensamiento lógico matemático y de interpretar
fenómenos y situaciones cotidianas para favorecer el pro-
ceso de aprender a aprender. Sin embargo, la realidad de
cada tema y el proceso de aprender a aprender es una mera
teoría.
Los estudiantes resultan afectados, ya que los docentes
se enfocan en los temas propuestos por los libros de texto
y no en el conocimiento que es relevante, así dejan de lado
conceptos que son indispensables para que el estudiantado
pueda seguir creciendo en su saber y hacer matemático.
El proceso de aprendizaje, debe permitir el desarrollo
del pensamiento crítico y el razonamiento en el estudiante.
La adquisición de un nuevo conocimiento no debe basarse
ni partir de la aplicación de fórmulas que generalicen con-
ceptos o estrategias de resolución que automaticen los pa-
sos para obtener un determinado resultado. El aprendizaje
debe brindar mayores herramientas a los estudiantes para
hacer frente a los retos que se les pueden presentar, estimu-
lar la creatividad, conectarse con la aplicación del mismo
en situaciones de la vida diaria.
Es por lo anterior que se planteó como objetivo el ela-
borar una propuesta pedagógica para que alumnos entre los
9 y los 1 3 años, cursantes de cuarto, quinto y sexto grado
fracción y realizar operaciones algebraicas, de manera di-
dáctica, a través de la aplicación de actividades plásticas
inspiradas en el cubismo. Esta propuesta busca la integrali-
dad del conocimiento y la inclusión de la geometría como
hilo conductor entre las artes plásticas y la matemática a
través de la creación de un problema matemático en el cual
se incluyen elementos de las artes plásticas: mosaicos, vi-
trales, cubismo. En ella se muestra la aplicación de una ac-
tividad didáctica en que los alumnos experimentan a través
de materiales de las artes plásticas (pinturas, vidrios, papel
celofán, entre otros).
III.
El nivel de abstracción de los niños en apariencia no
representa un problema mayor al momento de aprender las
fracciones; sin embargo, lo es. Según la teoría de Piaget (ci-
tado en Papalia y Olds, 1998 y Craig, 1997 el ser humano
durante su crecimiento experimenta un desarrollo no sólo
pasan por cuatro estadios del desarrollo que se dan en un
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Revista Ecuatoriana de Investigación Educativa
entre un niño y otro. Estos estadios son: Sensorio-motor
desde el nacimiento hasta los 2 años, Preoperacional des-
de los 2 a los 7 años, Operaciones concretas desde los 7 a
los 12 años y Operaciones formales desde los 12 años en
adelante.
Durante el estadio de las operaciones concretas dismi-
nuye el egocentrismo y se desarrolla la noción de conser-
vación de números, volúmenes y materiales. Gracias esta
noción, los niños pueden centrarse en más de un aspecto
de un estímulo. Los procesos de razonamiento pasan a ser
lógicos y pueden aplicarse a problemas concretos o reales.
Se desarrollan los conceptos de seriación, jerarquía y la cla-
y velocidad a nivel concreto, es decir, basándose en lo que
pueden manipular, ver o pensar porque ya lo han visto, ya
que su pensamiento abstracto no está desarrollado.
En el estadio de las operaciones formales los niños
logran la abstracción, por lo que utilizan el razonamiento
lógico inductivo y deductivo. Son capaces de formular hi-
pótesis y probarlas hasta encontrar la solución de un proble-
ma, desarrollan una mayor comprensión del mundo, la idea
de causa y efecto, son capaces de encontrar incongruencias
en sus creencias, o acciones, aplican la reversibilidad y la
conservación en todo tipo de situaciones, ya sean reales o
imaginarias.
De acuerdo a la teoría constructivista, los individuos
aprenden partiendo de su experiencia previa y el conoci-
miento que poseen. Basándose en éstos, construyen los
nuevos aprendizajes integrando la información conocida
con la nueva a través de la asimilación y la acomodación.
El aprendizaje se da a través de la experimentación, por
ello, es un proceso activo y muestra la interpretación perso-
nal del entorno. El constructivismo hace énfasis en la reso-
lución de problemas como medio de aprendizaje. Sugiere
que es posible crear nuevos conocimientos a través de la
presencia de un moderador (docente).
El educador constructivista brinda oportunidades de
aprendizaje, propone actividades atractivas, retadoras y
reconoce la importancia del error dentro del proceso de
aprendizaje, teniendo siempre en cuenta su papel de me-
diador dentro del proceso.
El constructivismo plantea que los nuevos conocimien-
tos se relacionan a los conocimientos anteriormente ob-
tenidos. Para que el aprendizaje se logre de manera más
provechosa, se requiere de una disposición y motivación
por parte del alumno que facilite la adquisición del nuevo
conocimiento, esta igualmente le permite que la retención
sea más duradera ya que es almacenada en la memoria a
-
de ser relacionado con su estructura de conocimiento y es
consecuencia de un proceso de aprendizaje también signi-
generar su propio conocimiento.
IV.
La estrategia pedagógica diseñada está basada en la
geometría euclidiana. En ella se construyen los diferentes
conceptos usando la congruencia de triángulos y la parti-
ción de un cuadrado pitagórico en diferentes números de
partes, algunas de estas particiones son exactas mientras
La geometría ha pasado a un segundo plano en las es-
cuelas Latinoamericanas, la mayoría de los niños poseen
pocos conocimientos del área, por lo que se requiere de un
trabajo geométrico previo a la puesta en práctica de esta es-
-
vo por el cual se buscó que, a través del arte y su estructura,
se pudiera abordar el lenguaje de la geometría y por ende
las fracciones.
4.1 Sobre la denición de la fracción
Una fracción es cada una de las partes iguales en las que
el abordaje concreto a través de la geometría, por ello es
estará representado por un área de trabajo que será pintada
Un cuadrado pitagórico es un cuadrado construido a
partir de otros cuadrados con área 1x1. Todo cuadrado es
pitagórico permite redimensionar la unidad.
Un ejemplo de un cuadrado pitagórico 3x3, formado a
partir de 9 cuadrados de área de 1x1:
Figura 1: Cuadrado Pitagórico
4.2 Multiplicación pitagórica
-
mar cuadrados de área 1x1. Por ejemplo, 3 x 2 equivale a
sumar 6 cuadrados 1x1. En este proceso, es importante re-
saltar que la propiedad conmutativa se desprende de forma
natural como se evidencia en la Figura 2.
Figura 2: Cuadrado Pitagórico
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N.
o
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Al hablar de fracciones deben tomarse en cuenta dos
conceptos que son muy importantes: unidad y equidad.
(correspondencia debida de las partes de una cosa con el
los elementos distintivos en un conjunto, es la cantidad que
se toma por medida o término de comparación de las demás
de su especie.
Si se tiene un cuadrado y se parte exactamente por la
mitad usando una línea diagonal, se obtienen dos triángu-
los congruentes, de acuerdo a los planteamientos de Arquí-
dos triángulos equivalente al área del cuadrado completo.
Esto ocurre gracias a que el triángulo I es congruente con el
triángulo II por el criterio de congruencia lado, lado, lado
Figura 3: Congruencia de triángulos por el criterio de
congruencia lado, lado, lado
Es decir, que estos triángulos equivalen a media parte
del cuadrado. Esto se puede expresar como uno proporción
dos o (1:2) de un cuadrado 1x1. Si se divide ese mismo cua-
drado 1x1 en 4 partes, usando otra diagonal, (se obtienen
4 triángulos) cada triángulo equivaldría a uno proporción
cuatro (1:4) de ese cuadrado (ver Figura 4).
Figura 4: Cuadrado 1x1 dividido en 4 por dos diagonales.
Cada triángulo equivale a 1:4
Si se considera ahora un cuadrado pitagórico 3x3 y se
parte exactamente por la mitad, y se cuentan los cuadros
resultantes, se obtiene lo siguiente:
Figura 5: Cuadrado Pitagórico 3x3 partido por la mitad
Se observa que la mitad del cuadrado pitagórico (lo que
geométricamente genera un triángulo) se compone por 3
cuadrados 1x1, más un cuadrado 1x1 que resulta de la suma
de otro cuadrado 1x1, lo que daría un total de 4 y medio
cuadrados. En otras palabras, si el área del cuadrado ente-
ro (número de cuadros dentro del polígono) es 9, entonces
el cuadrado pitagórico está compuesto por 9 cuadrados. Si
generan dos triángulos que están compuestos por 4(2(1:2))
+ (1:2) cuadrados de 1x1. Si se siguen realizando particio-
nes del cuadro pitagórico, por ejemplo, en 4 partes se ob-
tiene que:
Lo que en notación decimal representa 2,25 (ver Figura
6).
Figura 6: Cuadrado Pitagórico 3x3 partido en 4
Es importante resaltar que, al realizar estas particiones,
Este proceso de partición permite establecer una nue-
anteriormente vistas. En general un objeto fracción es una
proporción (n:m) donde n y m viven en Z (conjunto de los
(n:m) es equivalente a (k1.k2:m). (“.” Operación de multi-
plicación).
Ahora, en otro sentido, si se tiene un cuadrado y este se
parte exactamente por la mitad usando una línea vertical
se obtienen dos rectángulos, tal que la suma de los medios
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Revista Ecuatoriana de Investigación Educativa
rectángulos constituye el cuadrado completo. Es decir, par-
tir exactamente por la mitad un cuadrado usando una línea
diagonal equivale a partir exactamente por la mitad un cua-
drado usando una línea vertical (ver Figura 7):
Figura 7: Congruencia de cuadrados o rectángulos gene-
rados por partición de un cuadrado 1x1)
Por eso, si se continúa partiendo el cuadrado pitagó-
rico usando líneas verticales y horizontales, se obtiene lo
siguiente (ver Figura 8):
Figura 8: Cuadrado pitagórico partido en 8 partes
(1:2) + (1:2) + (1:8) todos a partir de 1x1 2 (1:2) + (1:8)
a partir de 1x1
1 cuadrado + (1:8) a partir de 1x1.
-
do pitagórico, lo que geométricamente también genera un
triángulo, se compone por 1 triángulo (1:2), 1 rectángulo
(1:2) y 1 triángulo (1:8). Lo que daría un total de 1 y (1:8)
cuadrados 1x1.
Es importante resaltar que, para efectos de este traba-
jo, se usará la palabra división para hablar de la cantidad
de cuadrados que generan un cuadrado pitagórico y la pa-
labra partición para seccionar un cuadrado pitagórico. El
cuadrado pitagórico formado por 9 cuadritos, está dividido
por 3 segmentos en cada lado y este se puede partir con 2
diagonales para generar 4 triángulos.
4.3 Sobre cómo hacer la división de forma exacta
Un cuadrado pitagórico par es aquél que tiene un núme-
ro par de cuadrados 1x1, en caso contrario es impar.
Un cuadrado pitagórico par, puede tener un número de
particiones (divisiones) par o impar, ejemplo de cuadrado
Pitagórico impar con un número de particiones par (ver Fi-
gura 9):
Figura 9: Cuadrado pitagórico impar con un número de
particiones par
Por otro lado, ante la situación de tener un cuadrado
-
gura 10), se presenta un problema pedagógico al intentar
explicar que la partición no queda exacta.
Figura 10: Cuadrado pitagórico par con un número de
particiones impar
Una propuesta pedagógica para construir una fracción
donde la división se dé en forma impar cuando se tiene un
cuadrado pitagórico par, consiste en inscribir una circunfe-
rencia dentro de un cuadrado pitagórico. Contando la can-
tidad de cuadrados 1x1 exactos y lo que no se pueda contar
Es importante notar que una de las líneas no divide
exactamente a un rectángulo 2x1. Lo que se puede traducir
en una diferencia entre una cantidad sobrante con respecto
a una cantidad exacta (ver Figura 11).
Figura 11: El rectángulo no está divido de forma exacta
como muestra la línea roja, sino de forma inexacta como
es el espacio comprendido entre la línea azul y la roja.
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N.
o
1 - 2022
La línea roja representa la cantidad exacta, mientras
que la línea azul representa la cantidad sobrante (lo que le
-
simal).
-
partir un todo que no se puede dividir exactamente. Los
números racionales son aquellos en los cuales no cabe el
conteo motivado a que no hay forma de contar esto geomé-
tricamente de forma exacta. Existe una forma de calcular el
Health (1956); sin embargo, este método no será desarro-
llado en este artículo.
Pedagógicamente este un concepto difícil de explicar y
asimilar para niños de este nivel; sin embargo, se considera
una estrategia adecuada para ser usada en grados superio-
res. En este nivel se puede usar la partición exacta para
motivar el concepto del objeto fracción.
Finalmente se tienen todas las herramientas para repre-
sentar fracciones de cualquier tipo usando un cuadrado pi-
tagórico par o impar con diferentes números de divisiones.
Para explicar la adición y sustracción de fracciones, se
requiere entender qué son las fracciones equivalentes. Esto,
en términos geométricos, consiste en tener el mismo núme-
ro de divisiones para un cuadrado pitagórico para un área
particular.
4.4 Para explicar la adición y sustracción de fracciones
• Sobre fracciones equivalentes
Para explicar estos procesos se presentan dos casos:
Caso 1:
Cuando los cuadrados pitagóricos ABCD, LMKD son
iguales (tienen el mismo número de divisiones) y el núme-
ro de particiones es distinto.
Considere el cuadro pitagórico 3x3 ABCD y LMKD
Figura 12: Cuadrado pitagórico de 3x3 con dos partes
Figura 13: Cuadrado pitagórico de 3x3 con cuatro partes
Caso 2:
Diferentes cuadrados pitagóricos ABCD y LMKJ con
igual número de particiones y diferente número de divi-
siones.
Figura 14: Cuadrado pitagórico de 3x3 con dos partes
Figura 15: Cuadrado pitagórico de 4x4 con dos partes
Para poder generar una equivalencia entre estos dos
cuadrados, se debe considerar sólo una dimensión de cada
cuadrado pitagórico ABCD y LMNK. Se subdivide en 3
cada segmento de los lados del cuadrado pitagórico LMKJ
y en 4 cada segmento de los lados del cuadrado pitagórico
ABCD lo que garantiza que ambos cuadrados pitagóricos
sean iguales (igual número de cuadrados internos). A conti-
nuación, se aplica el caso 1.
Figura 16: Si consideramos una dimensión de los cuadra-
dos pitagóricos, dividimos cada segmento del cuadrado
3x3 en 4 partes y cada segmento del cuadrado 4x4 en 3
partes, observaremos ambos poseen 12 divisiones.
Una pregunta interesante que surge como consecuencia
del caso 2 es ¿cuál es el menor número de divisiones sobre
los lados de los cuadrados pitagóricos que se puede reali-
zar para que éstos coincidan? Esta pregunta, a pesar de la
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Revista Ecuatoriana de Investigación Educativa
-
plejas sobre la teoría de números.
Entonces para realizar adiciones o sustracciones usan-
do cuadrados pitagóricos con diferentes divisiones, hay
que subdividir cada cuadrado pitagórico y comparar para
mantener la proporción (es indispensable que el cuadrado
mantenga la misma área, la longitud de sus lados). No hay
forma que se pueda comparar si se cambia el cuadrado y no
se mantiene el área.
-
tricamente la adición de fracciones.
• Adición de fracciones
Figura 17: Adición geométrica de fracciones
• Sobre la sustracción
Figura 18: Sustracción geométrica de fracciones
Esto siempre que ambos cuadrados sean comparables,
es decir, tengan una base común.
Al plantear la estrategia se entiende que existe la limi-
tación del conocimiento previo necesario para iniciar la
actividad. Si este no está presente, inicialmente el proceso
de aprendizaje se hace más extenso y laborioso, ya que es
necesario construir una base; sin embargo, llega a ser muy
conceptos aún más abstractos. La estrategia planteada bus-
ca construir conocimiento a largo plazo.
es olvidarse del símbolo, hacer énfasis en la geometría y,
a través de ella, entender el concepto de fracción de forma
intuitiva. Una vez adquirida la comprensión del concepto
se debe universalizar el conocimiento a través de símbolo.
Como se pudo observar, en esta estrategia se retoman
las ideas griegas. Se habla del cuadrado pitagórico porque
se utiliza como inspiración la división de la cuerda pitagó-
rica sobre el monocordio.
En el caso presentado se utilizó el arte como estrategia;
sin embargo, se puede aplicar a otras áreas del conocimien-
to por ejemplo la música, el deporte, etc., tal como muestra
el trabajo de Atilano (2009).
V.
5.1 Fracciones con arte y geometría
Para aplicar la propuesta se diseñaron dos actividades
didácticas:
•
• Álgebra de fracciones: adición y sustracción.
Estas actividades fueron aplicadas en alumnos de quin-
to grado del Colegio Integral El Ávila, ubicado en Caracas,
Venezuela. El quinto grado de este colegio, está formado
por dos grupos mixtos de alumnos.
El estudio sobre el objeto fracción antes mencionado,
se realizó a través de un reto artístico, la elaboración de un
vitral para ser expuesto en la Semana del Arte del colegio.
Trabajar con vitrales supone un conocimiento previo o
la necesidad de adquirir un conocimiento nuevo del área
artística por sí solo. Esto es muy importante, ya que no sólo
se persigue el aprendizaje del lenguaje matemático, sino
que se busca la integralidad del conocimiento que es parte
de la estrategia de aprendizaje. En este caso se están vin-
culando dos áreas que en la educación actual parecieran
no tener relación: el arte y las matemáticas. Esto permite
rescatar la idea de que la matemática es un lenguaje que se
conecta con todas las otras áreas del conocimiento.
Para realizar el vitral, es necesario conocer qué es, reali-
zar el diseño y calcular las pinturas que se necesitan para su
elaboración. El vitral a realizar está inspirado en los inicios
del arte cubista y basado en las formas geométricas cuadra-
do, rectángulo y triángulo.
Parte del conocimiento previo necesario para aprender
espacio y sistema de referencia.
debida de las partes de una cosa con el todo o entre co-
“extensión que contiene toda la materia existente” (RAE,
2001).
En la primera actividad didáctica se trabajó sobre un
cuadrado de papel de 15x15 cm para iniciar a los niños en
la noción de proporción y el uso del espacio. Este trabajo
previo permitió que en la siguiente actividad se pudieran
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N.
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hacer cálculos de materiales con base en un sistema de
referencia común. Para este ejercicio los alumnos fueron
sentados en se parejas, el trabajo lo realizó primero uno de
los estudiantes y después el otro, de modo que se pudiera
comparar en cada paso el antes y el después al comprobar
el material que cada uno tenía en frente.
El área de 15 x 15 cm se partió de acuerdo a las ins-
trucciones dadas por la maestra siguiendo el siguiente es-
quema:
Figura 19: Esquema de los pasos para realizar el plegado
de papel
Durante el proceso los niños compararon sus trabajos,
mientras la docente utilizó preguntas generadoras para fo-
calizar la atención en aspectos importantes e inducir al niño
a la construcción progresiva del objeto fracción.
Algunas de las preguntas generadoras fueron:
¿Qué forma tiene nuestra área a trabajar?
¿Qué es un cuadrado?
-
ción (división)?
¿Cuántas partes se tiene ahora?
¿Cuántos cuadros se necesitan para formar un rectán-
gulo?
¿Es lo mismo tener 1 parte (pedazos, trozos) de un cua-
drado dividido en 2 partes, que 2 partes de un cuadrado
dividido en 4 partes como tiene su compañero?
¿Qué forman dos rectángulos pequeños?
¿Qué hemos estado haciendo?
¿Cómo ha sido esta partición?
¿Qué es cada pedazo de ese cuadrado?
En esta actividad se pudo apreciar el todo como la re-
gión a partir, y que ese todo (el universo, él área, el cuadra-
do de papel) se conserva, aún cuando se realizaron parti-
ciones. El área a trabajar permaneció; sin embargo, podía
considerarse cada parte de ese todo como un todo a su vez
y hacer particiones sobre él, siendo esta partición equitati-
va o proporcional. Los alumnos establecieron equivalen-
cias como 2 cuadrados medianos equivalen a un rectángulo
grande, cuatro cuadrados pequeños a un rectángulo me-
diano, cuatro cuadrados pequeños a un cuadrado mediano,
un rectángulo grande a un triángulo grande, dos triángulos
pequeños a un cuadrado pequeño, adquirieron nociones de
área (la región que se dividió), dimensión (se trabajó con
-
nal) y espacio. Gracias a la mediación docente los niños
hicieron la transición de la primera partición geométrica
a la simbólica, estableciendo conexión entre la operación
algebraica de división y el objeto fracción. Igualmente se
estableció una referencia que permitió hablar en términos
de cuadrados, triángulos o rectángulos pequeños, media-
nos, grandes sin confusión.
Durante el proceso fue muy importante la comparación,
ya que cada nuevo paso podía ser contrastado con el an-
terior, por lo que los alumnos pudieron observar la trans-
formación, establecer equivalencias visualmente e incluso
experimentar a través de la superposición de sus áreas de
trabajo.
Con esta actividad se buscó la comprensión de los sím-
geométrico.
En la segunda actividad se solicitó a los alumnos que
utilizaran 3 colores para rellenar algunas de las partes re-
sultantes de la partición anterior. Para hacer el coloreado
se debía tomar en cuenta dos condiciones: se debía usar la
misma cantidad de cada color y cada parte debía tener un
único color. A continuación, se les pidió calcular el área
total de los colores utilizados en diferentes términos (con
base en cuadrados pequeños o rectángulos, etc.) para hacer
Figura 20: Ejemplos de coloreado equitativo
Una vez que los alumnos mostraron dominio de la par-
tición proporcional del espacio y el coloreado equitativo, se
trabajó con particiones diferentes y se invitó a los alumnos
a calcular el total de partes iguales que tenían de cada color.
Finalmente, se realizó un ejercicio con un área igual a
la anterior (15 x 15) y particiones iguales. Los alumnos re-
llenaron con color a su gusto, manteniendo la condición
anterior de que cada parte del todo debía contener sólo un
color y al terminar debían contar cuántas partes de cada
color tenía cada pareja. Luego se unieron varias parejas
y se realizó nuevamente el conteo. También se realizó un
conteo en forma inversa, es decir, todos los alumnos del
salón tienen un total de partes de un color, si quitamos lo
que tiene un grupo queda una cantidad diferente de partes
38
Revista Ecuatoriana de Investigación Educativa
Figura 21: Ejemplos de imágenes para realizar el conteo
De esta manera los alumnos, de forma muy intuitiva
y concreta pudieron resolver adiciones y sustracciones de
fracciones con igual y diferente denominador, sin tener que
usar símbolos, únicamente geometría. El cierre de la acti-
vidad lleva forzosamente al símbolo, ya que es la forma en
que el lenguaje matemático se universaliza, sin embargo,
esta simbología está llena de contenido, y se sustenta en
la comprensión adquirida por el niño al trabajar primero a
nivel concreto.
VI.
-
mente fortalezas y debilidades en ella. Si bien se encontra-
ron debilidades, las fortalezas las superaron con creces e hi-
cieron pensar que este tipo de estrategias deben utilizarse.
Las fortalezas fueron:
Se estableció una relación directa entre el área artística
y la matemática, evidenciando que hoy más que nunca es
posible brindar a los alumnos la integralidad del conoci-
miento, ampliar su aprendizaje a materias y temas que no
forman parte del currículo.
El uso de la comparación como herramienta de aprendi-
zaje, fue a través de ella que los alumnos construyeron gran
parte del conocimiento en estas actividades, les permitió
una reversibilidad inmediata de su trabajo (ver cómo estaba
el cuadrado de papel antes de cumplir la instrucción dada)
e incluso los incentivó a hacer proyecciones sobre lo que
pasaría si hicieran particiones de una u otra manera.
A través del trabajo en equipo se puede aprender. Las
actividades fueron creadas para trabajarse no como indivi-
duos sino como pequeños grupos, por ello la construcción
del conocimiento se dio de forma grupal igualmente, cada
un estudiante, esto llevó el trabajo a un nivel de mayor pro-
fundidad que la inicialmente esperada.
Rescate del error como medio de aprendizaje y dismi-
nución del miedo a equivocarse, los alumnos fueron capa-
ces de detectar errores y cuestionarse sin que esto generara
emociones negativas ni frustraciones.
Se observó una gran motivación intrínseca (propia de
cada alumno) por parte de los alumnos hacia la actividad.
Hubo entusiasmo, impaciencia, ilusión, emociones que no
son comunes en una clase tradicional de matemática.
Se rescató el valor recreativo del proceso de aprendi-
zaje, no sólo se aprende jugando en preescolar, también es
posible disfrutar y aprender jugando en una clase de mate-
mática de los últimos grados de primaria. Los alumnos del
grupo en que se aplicó la actividad sin duda lo hicieron.
Motivación al lenguaje matemático a través de activida-
des dentro y fuera del salón.
Desarrollo del razonamiento espacial a través del traba-
jo de la geometría euclidea.
Comprensión concreta del objeto fracción por parte de
los alumnos de inclusión. Recordemos que los alumnos de
inclusión requieren de adaptaciones o acompañamiento
personalizado durante el desenvolvimiento de las activi-
dades académicas; sin embargo, al aplicar esta estrategia
estos alumnos no necesitaron de ningún tipo de adaptación
o apoyo para lograr la construcción de los conceptos.
Se rescata el uso del reto cognitivo como punto de ini-
cio del aprendizaje, ya que se invitó al niño a resolver un
problema para lo cual debía hacer uso del razonamiento y
no de destrezas mecánicas.
Las debilidades fueron:
Se requiere de un conocimiento previo. Para la elabo-
ración de un vitral el niño debe tener cierta base de conoci-
miento artístico, de no tenerla, es necesario el aprendizaje
de estas nociones antes de entrar en materia.
Para impartir a los niños la base del conocimiento artís-
tico requiere una inversión mayor de tiempo, en ocasiones
esto requiere más tiempo del disponible para una clase.
Al requerir el desarrollo de un conocimiento artístico
previo, se puede generar dispersión en el alumno, desvian-
do su atención del contenido a estudiar.
Al realizarse la indagación inicial sobre los conoci-
mientos previos para la realización de la actividad didácti-
el razonamiento geométrico y conlleva a una falta de enten-
dimiento de las fracciones. Es necesario el conocimiento
sobre congruencia de triángulos, construcción de cuadra-
dos y partición de objetos para realizar las actividades an-
teriormente propuestas, por lo que el desconocimiento de la
geometría es una limitante.
Por ello se considera necesario sembrar la geometría
para explicar un concepto matemático más abstracto como
lo es las fracciones.
Para cerrar citamos las palabras de Liliana Pazos (2009)
Habitualmente, los maestros decimos que las fracciones
son un problema a la hora de enseñarlas. Juguemos con
las palabras y cambiemos el “es un problema para noso-
tros enseñar fracciones” por “presentemos las fracciones
alumnos”. (p. 45)
39
N.
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1 - 2022
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